Generaliserad energiintegral

Den generaliserade energiintegralen är integralen av Lagrange-ekvationerna för ett holonomiskt mekaniskt system i fallet med en tidsoberoende Lagrange-funktion . Kallas även Jacobi-integralen. Den existerar alltid om krafterna är potentiella och Lagrange-funktionen inte explicit beror på tid [1] .

Formulering

Lagrangekvationer för ett holonomiskt mekaniskt system med en tidsoberoende Lagrangefunktion

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

har en generaliserad energiintegral [2] :

$h=\summa _{{m=1}}^{{s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m}}}}{\dot {q} }_{{m}}-L$

Slutsats

Betrakta ett holonomiskt system med frihetsgrader med Lagrange-funktionen $s$

$L=L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$ ,

beroende på generaliserade koordinater , generaliserade hastigheter och tid , här och under överallt . ${\displaystyle q_{m))$ ${\dot {q}}_{m}$ $t$ $m=1,2,...,s$

Att differentiera funktionen med avseende på tid får vi $L(q_{m},{\dot {q))_{m},t)$

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))$ .

Från Lagrange-ekvationerna

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m))))=0$

följer det

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}={\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}\right)$ .

Då får vi:

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}{\dot {q))_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)) _{m))}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_ {m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q} }_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}} _{m}\right)$ .

Med hjälp av detta har vi:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\summa _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Eller:

${\frac {d}{dt}}\left(\summa _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} )){\dot {q))_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))=0$ .

Om Lagrange-funktionen är uttryckligen oberoende av tid, då ${\frac {\partial L}{\partial t))=0$ ${\frac {d}{dt}}\left(\summa _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m} }}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0$

Därför:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m} -L=h$

Detta uttryck kallas den generaliserade energiintegralen, eller Jacobi-integralen [2] .

Anteckningar

↑ Butenin, 1971 , sid. 102.
↑ 1 2 Butenin, 1971 , sid. 101.

Litteratur

Butenin N.V. Introduktion till analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 sid.