Omega (permanent)

Omega-konstanten är en matematisk konstant , definierad som det enda reella talet som uppfyller ekvationen

\Omega e^{\Omega }=1

Detta värde är , var är Lambert W-funktionen . Namnet kommer från ett alternativt namn för Lamberts W-funktion, omega-funktionen. Numeriskt värde : $W(1)$ $W$ $\Omega$

\Omega =0,567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\ ,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots

(sekvens A030178 i OEIS )

{\frac {1}{\Omega }}=1,763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\ ,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots

(sekvens A030797 i OEIS )

Egenskaper

Representation som en fast punkt på displayen

Den definierande relationen kan uttryckas till exempel som

\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega

eller

-\ln(\Omega )=\Omega

eller

e^{-\Omega }=\Omega

Beräkning

Kan beräknas iterativt genom att börja med den första gissningen och ta hänsyn till sekvensen $\Omega$ ${\displaystyle \Omega _{0))$

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n))

Denna sekvens konvergerar till när n går till oändlighet. Detta beror på att är den attraherande fixpunkten för funktionen . Det är dock mycket mer effektivt att använda återfallsrelationen $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-x))$

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}

eftersom funktionen

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x))))

förutom att ha samma fixpunkt har den också en derivata som försvinner där. Detta garanterar kvadratisk konvergens; det vill säga antalet korrekta siffror fördubblas ungefär med varje iteration.

Med Halleys metod kan man approximera med kubisk konvergens: $\Omega$

\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j))-1}{e^{\Omega _{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}}

Integral representationer

Viktor Adamczyks identitet:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega}}

En annan relation associerad med I. Meso [1] [2] :

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatörsnamn {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it} }-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cott}\right)dt

Transcendens

Konstanten är transcendent . Detta kan ses som en direkt konsekvens av Lindemann–Weierstrass sats . Låt oss anta att det är algebraiskt. Enligt sats är det transcendentalt, men ; motsägelse. Därför måste det vara ett transcendentalt tal. $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-\Omega ))$ ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega ))$ $\Omega$

Se även

W-funktion hos Lambert

Anteckningar

↑ István, Mező En integrerad representation för huvudgrenen av Lambert W- funktionen . Hämtad 7 november 2017. Arkiverad från originalet 28 december 2016. (obestämd)
↑ Mező, István (2020), En integrerad representation för Lambert W-funktionen, arΧiv : 2012.02480 . .

Källor

Weisstein, Eric W. Omega Constant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Omega konstant (1 000 000 siffror) , < http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html > . Hämtad 25 december 2017.

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet