Kleins paradox i grafen är passagen av alla potentiella barriärer utan att backa spridning i rät vinkel. Effekten beror på att spektrumet av strömbärare i grafen är linjärt och kvasipartiklarna följer Dirac-ekvationen för grafen. Effekten förutspåddes teoretiskt 2006 [1] för en rektangulär barriär.
Kvasipartiklar i grafen beskrivs av en tvådimensionell Hamiltonian för masslösa Dirac-partiklar
där är Planck-konstanten dividerad med 2 π, är Fermi-hastigheten, är vektorn kvar från Pauli-matriserna , är nabla- operatorn . Låt det finnas en potentiell barriär med höjd och bredd , och låt energin från infallande partiklar vara . Sedan, från lösningen av Dirac-ekvationen för regionerna till vänster om barriären (index I), i själva barriären (II) och till höger om barriären (III), kommer de att skrivas i form av plan vågor som för fria partiklar :
där följande beteckningar accepteras för vinklarna , , och vågvektorerna i I- och III-områdena , , och i II-området under barriären , tecken på följande uttryck och . De okända koefficienterna , amplituderna för de reflekterade respektive sända vågorna, hittas från vågfunktionens kontinuitet vid potentialgränserna.
För transmissionskoefficienten som funktion av partikelns infallsvinkel erhölls följande uttryck [2]
Bilden till höger visar hur transmissionskoefficienten ändras beroende på barriärens bredd. Det visas att den maximala transparensen för barriären alltid observeras vid noll vinkel, och resonanser är möjliga i vissa vinklar.