Kleins paradox i grafen

Kleins paradox i grafen är passagen av alla potentiella barriärer utan att backa spridning i rät vinkel. Effekten beror på att spektrumet av strömbärare i grafen är linjärt och kvasipartiklarna följer Dirac-ekvationen för grafen. Effekten förutspåddes teoretiskt 2006 [1] för en rektangulär barriär.

Teori

Kvasipartiklar i grafen beskrivs av en tvådimensionell Hamiltonian för masslösa Dirac-partiklar

{\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,

där är Planck-konstanten dividerad med 2 π, är Fermi-hastigheten, är vektorn kvar från Pauli-matriserna , är nabla- operatorn . Låt det finnas en potentiell barriär med höjd och bredd , och låt energin från infallande partiklar vara . Sedan, från lösningen av Dirac-ekvationen för regionerna till vänster om barriären (index I), i själva barriären (II) och till höger om barriären (III), kommer de att skrivas i form av plan vågor som för fria partiklar : $\hbar$ $v_{F}$ $\sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})$ $\nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})$ $V_{0}$ $D$ $E$

\psi _{I}({\mathbf {r}})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }} \end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {r}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1 \\se^{{i(\pi -\phi )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-k_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{II}}({\mathbf {r}})={\frac {a}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{{i \theta }}\end{pmatrix}}e^{{i(q_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {b}{{\sqrt {2}}}}{\begin {pmatrix}1\\s'e^{{i(\pi -\theta )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-q_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{III}}({\mathbf {r}})={\frac {t}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }}\end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}},

där följande beteckningar accepteras för vinklarna , , och vågvektorerna i I- och III-områdena , , och i II-området under barriären , tecken på följande uttryck och . De okända koefficienterna , amplituderna för de reflekterade respektive sända vågorna, hittas från vågfunktionens kontinuitet vid potentialgränserna. $\phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}$ $\theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}$ $k_{x}=k_{F}\cos {\phi }$ $k_{y}=k_{F}\sin {\phi }$ $q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2}}}$ $s={\mathrm {tecken}}(E)$ $s'={\mathrm {tecken}}(E-V_{0})$ $r$ $t$

För transmissionskoefficienten som funktion av partikelns infallsvinkel erhölls följande uttryck [2]

T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\ cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{{'}}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2 }}}}.

Bilden till höger visar hur transmissionskoefficienten ändras beroende på barriärens bredd. Det visas att den maximala transparensen för barriären alltid observeras vid noll vinkel, och resonanser är möjliga i vissa vinklar.

Anteckningar

↑ Katsnelson M.I. , et. al. "Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene" Nature Physics 2 , 620 (2006) doi : 10.1038/nphys384 Preprint Arkiverad 12 juli 2015 på Wayback Machine
↑ Castro Neto AH cond-mat Arkiverad 12 juli 2015 på Wayback Machine