Ubåtsparadox

Ubåtsparadoxen (ibland kallad Sappleys paradox ) är ett tankeexperiment inom Einsteins relativitetsteori som leder till en paradox som är svår att lösa.

Enligt Einsteins speciella relativitetsteori , från en stationär observatörs synvinkel, minskar dimensionerna av ett föremål som rör sig med en hastighet nära ljusets hastighet i rörelseriktningen. Men ur objektets synvinkel, tvärtom, är det stationära observatörer som verkar kortare.

Om vi antar att en viss ubåt rör sig under vatten med nästan ljushastighet, kommer den att verka komprimerad för stationära observatörer. Dess densitet bör följaktligen öka, vilket säkerligen kommer att dra den till botten. Men från sidan av föremålet - besättningen ombord på ubåten - skulle allt uppfattas precis tvärtom: det "rinnande" vattnet runt dem komprimeras, vilket innebär att det blir tätare och trycker båten till ytan.

1989 löste James Suppley paradoxen med hjälp av speciell relativitetsteori. Detta problem kallas också "Suppley Paradox" efter honom.

2003 tog brasilianske George Matsas från São Paulo upp denna paradox med hjälp av allmän relativitetsteori . Båda forskarna hade samma slutsats: ubåten kommer att sjunka .

Forskare förklarar paradoxen på olika sätt. Många faktorer påverkar lagren och på båten, vilket kräver obligatorisk hänsyn för en framgångsrik lösning av denna paradox. Här finns en ökning av gravitationseffekten på båten, vilket kommer att dra ner den, och en förvrängning av formen på vattenlagren uppåt (de "lyfter upp" ur ubåtens synvinkel på grund av en kränkning av samtidigheten av starten av accelerationen).

Kärnan i beslutet

Hela övervägandet kan utföras inom ramen för den speciella relativitetsteorin och övergå till en referensram som rör sig med acceleration (där det är bekvämt att introducera Rindler-koordinaterna ). Det är dock lättare att överväga allt från en tröghetsreferensram, där accelerationen av vätskan orsakas av någon anledning, till exempel är vätskan elektriskt laddad och befinner sig i ett elektriskt fält, eller den stöds av en accelererad rörlig vägg. Det är viktigt att detta skäl inte accelererar ubåten - till exempel är ubåten neutral eller kommer inte i kontakt med väggen. Vi begränsar oss till det första ögonblicket när vätskan är i vila och ubåtens hastighet är 0 för det "stationära" fallet och (med motsvarande ) för det "rörliga". $v$ $\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

Ur tröghetsobservatörernas synvinkel orsakas accelerationen av en ubåt (oavsett om den är i vila eller i rörelse) av överföringen av momentum från vätskans molekyler till ubåtens molekyler - detta är den mikroskopiska definitionen av tryck. Denna överföring är proportionell mot ytan av vätskan i kontakt med ubåten, och minskar följaktligen med en faktor när ubåten krymper på grund av dess rörelse. Därför är momentumöverföringen lika stor för en "stationär" ubåt och för en "rörlig". Nu är det lätt att beräkna de accelerationer som ubåtarna tar emot i det första ögonblicket: för en "stationär" ubåt kommer detta att vara ett värde som, tillstånd, sammanfaller med vätskans acceleration $\gamma$ ${\frac {dp_{0}}{dt}}$ ${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {dp_{0}}{dt}}$

$a_{0}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{0}}{dt}},$

var är massan på ubåten, och för den "rörliga" $m$

$a={\frac {1}{\gamma m}}{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma ^{2}m}}{\frac {dp_{0}} {dt}}={\frac {a_{0}}{\gamma ^{2}}},$

där man tar hänsyn till att ubåten accelererar vinkelrätt mot sin rörelseriktning. Som du kan se är accelerationen för en "rörlig" ubåt mindre än för en vilande - den kommer att sjunka.

Tänk nu på situationen i referensramen, där ubåten är "stationär", men vätskan rör sig. Vätskans densitet kommer att öka på grund av dess relativistiska sammandragning, vilket kommer att öka Arkimedeskraften med en faktor, det vill säga att momentumöverföringen blir lika , vilket kommer att få ubåten att accelerera $\gamma$ ${\frac {dp'}{dt'}}=\gamma {\frac {dp_{0}}{dt}}$

$a_{s}'={\frac {1}{m}}{\frac {dp'}{dt'}}=\gamma a_{0}.$

Men vid övergången till denna tröghetsreferensram kommer även vätskans acceleration att förändras. Efter att ha pekat ut en viss nivå i vätskan har vi i det ursprungliga systemet dess rörelseekvation , och i den nya, enligt Lorentz-transformationerna för platsen för ubåten , får vi det vill säga accelerationen av vätskenivån , mätt från ubåten, är lika med . Den är större än ubåtens acceleration - den kommer att sjunka. $z=a_{0}t^{2}/2$ $x=vt\högerpil t=\gamma t'$ $z'=z=a_{0}t^{2}/2=a_{0}\gamma ^{2}t'^{2}/2=a't'^{2}/2,$ $a_{l}'=\gamma ^{2}a_{0}$

Exakt samma resultat erhålls om vi tar den korrekta ekvationen för hyperbolisk rörelse istället för den ungefärliga, som bara är korrekt nära . Det finns också en viss effekt relaterad till kränkningen av samtidigheten av accelerationen av olika delar av vätskan i förhållande till ubåtens referensram, men denna kan reduceras till ett försumbart värde genom att välja en liten acceleration och/eller storlek på ubåten i färdriktningen (se Matsas arbete för en detaljerad analys). $z={\frac {c}{a{\sqrt {c^{2}+a^{2}t^{2))))}-{\frac {c^{2}}{a}}+ z_{0}$ $t=0,\ z={\frac {a_{0}t^{2}}{2}}$

Ubåtsparadox

Kärnan i beslutet

Länkar