Första integralen

Den första integralen av systemet med vanliga differentialekvationer

\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\ end{matris}}\right.,\quad x\in U

är en differentierbar funktion , , så att dess derivata med avseende på vektorfältets riktning $f:U\to {\mathbb R}$ $U\subseteq {\mathbb R}^{n}$ $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$

L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{ \partial x_{n}}}=0

för alla från området . Med andra ord är funktionen konstant på alla lösningar av systemet som finns i domänen . $x$ $U$ $f$ $U$

De första integralerna används för att studera autonoma system av differentialekvationer och lösa partiella differentialekvationer.

Låta vara en domän i , vara ett differentierbart vektorfält i , , . Sedan finns det ett område av punkten så att systemet av differentialekvationer $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))$ $U$ $x_{0}\i U$ $A(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$

\left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\ slut{matris}}\höger.

har exakt funktionellt oberoende första integraler i detta område . $n-1$

Exempel

För en ekvation med avseende på en funktion är den första integralen funktionen (total energi i fysiska tillämpningar). $x''+V(x)=0$ $x(t)$ $E={\frac 12}x'^{2}+\int \limits _{{x_{0}}}^{x}V(z)dz$

Litteratur

V. I. Arnold, Ordinarie differentialekvationer. M .: Nauka, 1966.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss