Sekvensdensitet

Sekvensdensitet är begreppet allmän additiv talteori , som studerar lagarna för addition av heltalssekvenser av en allmän form. Tätheten av en sekvens är ett mått på hur mycket av sekvensen av alla naturliga tal som tillhör en given sekvens av icke-negativa heltal . Begreppet sekvensdensitet hänvisar till densiteten som introducerades 1930 av Schnirelmann (därav det engelska namnet på termen - Schnirelmann density) för sekvens A, nämligen: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots$ $d(A)$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

där är antalet medlemmar i sekvensen som inte överstiger . $\pi _{A}(n)$ $A$ $n$

Relaterade definitioner

Låta vara den aritmetiska summan av sekvenser och , Dvs mängden . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\))$

Om de tror på liknande sätt osv. $A=B$ $2A=A+A$ $3A=2A+A$

If , då kallas en grund av den e ordningen . ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+))$ $A$ $n$

Egenskaper

Densitet om och endast om den sammanfaller med mängden av alla icke-negativa heltal. $d(A)=1$ $A$ $\Z_+$
Shnirelmans ojämlikhet

d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)

Mann-Dyson ojämlikhet

{\displaystyle d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\))

Det följer av Shnirelmans ojämlikhet att varje sekvens av positiv densitet är en grund för ändlig ordning. Tillämpningen av detta faktum på additiva problem, i vilka sekvenser med nolldensitet ofta summeras, utförs genom att förkonstruera nya sekvenser med positiv densitet från givna sekvenser. Till exempel, med hjälp av siktmetoder , är det bevisat att sekvensen , där den går genom primtalen , har en positiv densitet. Detta antyder Shnirelmans teorem : det finns ett heltal så att vilket naturligt tal som helst är summan av högst primtal. Detta teorem ger en lösning på den sk. försvagat Goldbach-problem . $\{p\}+\{p\}$ $sid$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Variationer och generaliseringar

En variant av begreppet sekvensdensitet är begreppet asymptotisk täthet , ett specialfall av vilket är naturlig täthet .

Begreppet sekvensdensitet är generaliserat till andra numeriska sekvenser än den naturliga serien, till exempel till sekvenser av heltal i algebraiska talfält. Som ett resultat är det möjligt att studera baser inom algebraiska fält.