Darboux yta

Darbouxytan är en tvådimensionell yta F 2 i ett tredimensionellt euklidiskt utrymme E 3 , på vilket Darboux-tensorn är definierad och är identiskt lika med noll .

Darboux-tensoren är en trefaldig kovariant symmetrisk tensor av tredje ordningen, definierad på ytan F 2 med Gaussisk krökning K i E 3 som inte är noll .

Komponenterna i Darboux-tensorn beräknas med formlerna: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

där är koefficienterna för den andra kvadratiska formen, K är den Gaussiska krökningen och och är deras kovariantderivat. $b_{ij}$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

G. Darboux [1] var den första som kom till denna tensor i speciella koordinater .

Försvinnandet av Darboux-tensorn kännetecknar Darboux-ytorna i E 3 - tvådimensionella ytor av andra ordningen som inte expanderar på ett plan [2] .

En annan viktig egenskap hos Darboux-ytor är relaterad till teorin om infinitesimala böjningar av ytor. Således kännetecknas Darboux-ytor med positiv Gaussisk krökning K>0 i E 3 av egenskapen att ekvationssystemet av infinitesimala böjningar på dem och endast på dem reduceras till systemet med Cauchy-Riemann-ekvationer [3] .

En naturlig generalisering av Darboux-ytor är n-dimensionella submanifolds med en cykliskt återkommande andra fundamental form i (n+p)-dimensionella rum med konstant krökning [4] .

Varje cykliskt återkommande yta F 2 med icke-noll Gaussisk krökning K i det tredimensionella euklidiska utrymmet E 3 är lokalt en Darboux-yta [5] .

Bonnets teorem. På Darboux-ytan i tredimensionellt euklidiskt utrymme längs varje krökningslinje är motsvarande huvudkrökning som motsvarar den proportionell mot kuben för den andra huvudkrökningen [6] .

Anteckningar

↑ Darbouch, G. "Bull. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V.F. Fundamentals of the teorin om ytor i en tensorpresentation, del 2, Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948, s. 210-233.
↑ Vekua, I. N. Generaliserade analytiska funktioner. M.: Nauka, 1988. S. 326-330.
↑ Bodrenko, I. I. Generaliserade Darboux-ytor i utrymmen med konstant krökning. Saarbrücken, Tyskland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. Generaliserade Darboux-ytor i utrymmen med konstant krökning. C. 119-130.
↑ Kagan, V.F. Fundamentals of theory of ytor i tensorpresentation, del 2, Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948.