Ger rotation -in linjär algebra , en linjär operator för att rotera en vektor med någon given vinkel .
Givens-matrisen har följande form:
Denna matris skiljer sig från identitetsmatrisen endast genom submatrisen
ligger på rader och kolumner med siffror och . Är ortogonal.
Om en vektor , ges , välj sedan
cos ϕ = a k a k 2 + a l 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} synd ϕ = − a l a k 2 + a l 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))}du kan ställa in den e komponenten av vektorn till noll :
[ cos ϕ − synd ϕ synd ϕ cos ϕ ] [ a k a l ] = [ cos ϕ ⋅ a k − synd ϕ ⋅ a l synd ϕ ⋅ a k + cos ϕ ⋅ a l ] = [ a k 2 + a l 2 a k 2 + a l 2 − a l ⋅ a k + a k ⋅ a l a k 2 + a l 2 ] = [ a k 2 + a l 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi}&-\sin {\phi}\\\sin {\phi}&\cos {\phi}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi}\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}}Med hjälp av Givens rotationer kan man beräkna QR-sönderdelningen av matriser och rita hermitiska matriser till en tridiagonal form.
Låt oss reducera en symmetrisk matris till en tridiagonal form:
Var . Sedan multiplicerar vi det med Givens rotationsmatris: . är den transponerade matrisen. Detta ändrar bara elementen och
Här betecknar primtal elementet som visas efter rotationen. Låt oss välja koefficienterna och så att det off-diagonala elementet sätts till noll och relationen mellan och med och
Sedan:
En sådan rotation tillämpas sekventiellt för att nollställa alla element i den första raden, förutom de två första. Det vill säga (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Sedan den andra raden (2,3),(2, 4)...(2) ,n )
C++-kod:
for ( osignerad int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { for ( osignerad int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); phi = 0,5 * atan ( t ); c = cos ( fi ); s = sin ( phi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = vid ; matr [ i ][ i ] = bii ; matr [ i ][ j ] = vid ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }