Subring

En subring av en ring är ett par , där är en ring och är en monomorfism ( inbäddning ) av ringar. En sådan definition överensstämmer med den allmänna uppfattningen om ett subobjekt i kategoriteorin . $K$ $(R,i)$ $R$ $i:R\hookrightarrow K$

I den klassiska definitionen betraktas en subring av en ring som en delmängd sluten under operationerna och från huvudringen. Denna definition är likvärdig med den ovan, men den moderna definitionen betonar subringarnas interna struktur och kopplingen mellan olika ringar. Det är också lätt att generalisera till fallet med godtyckliga matematiska objekt (algebraiska, geometriska, etc.). Skillnaden mellan definitionerna är analog med skillnaden mellan den mängdteoretiska och den kategoriteoretiska synen på matematik. $(K,+,*)$ $R\subset K$ $+$ $*$

I synnerhet ger olika definitioner av en ring två grundläggande meningsfulla begrepp för en subring. I kategorin (alla) ringar kan en subring, som i den klassiska definitionen, betraktas som en godtycklig delmängd av en ring som är sluten under addition och multiplikation. En mer intressant situation är i kategorin enhetsringar : morfismerna (homomorfismer) i denna kategori måste kartlägga ringens identitet till ringens identitet (på samma sätt som homomorfismen för semigrupper med enhet ), så ringens subring måste också innehålla identiteten: . ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $f:R\to K$ $R$ $K$ $R$ $K$ $1_{K}\in R$

Kategorien är mycket bättre organiserad än . Till exempel är kärnan i varje homomorfism också ett objekt i denna kategori. På grund av detta betyder att tala om en subring vanligtvis en subring i , om inte annat anges. ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ ${\mathcal {R}}ing$

Exempel

Alla ideal (vänster, höger, tvåsidiga) stängs under addition och multiplikation, därför är det en subring i . ${\mathcal {R}}ing$
Ett ideal är en subring endast om den innehåller , så den måste sammanfalla med hela ringen. Därför är riktiga ideal inte underringar. ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $ett$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$
Subringarna i är alla möjliga huvudideal . B har inga egna underringar. ${\mathcal {R}}ing$ $\mathbb {Z}$ $(n)=n\mathbb {Z}$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $\mathbb {Z}$
Heltalsringen är en subring av fältet av reella tal och en subring av ringen av polynom . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} [X]$

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 sid.

Se även

Undergrupp