I kategoriteorin är ett subobjekt , grovt sett, ett objekt som ingår i ett annat objekt i en kategori. Definitionen generaliserar de äldre föreställningarna om delmängd i mängdlära och undergrupp i gruppteori. [1] Eftersom den "riktiga" strukturen av objekt inte beaktas i kategoriteorin, bygger definitionen på användningen av morfismer, inte "element".
Låt A vara ett objekt av någon kategori. Har två monomorfismer :
u : S → A och v : T → Amed en allmän bild A , säger vi att u ≤ v om u "går igenom" v , det vill säga om det finns en morfism w : S → T sådan att u = v ∘ w . Låt oss definiera följande binära relation:
u ≡ v om och endast om u ≤ v och v ≤ u .Detta är en ekvivalensrelation på monomorfismer med bild A , låt oss kalla dess ekvivalensklasser subobjekt av A . Monomorfismer med bilden av A och relationen ≤ bildar en förordning , men definitionen av ett subobjekt säkerställer att subobjekten av A bildar en delvis ordnad mängd .
Det dubbla konceptet till ett subobjekt är ett faktorobjekt; det vill säga, för att få definitionen av ett kvotobjekt måste du ersätta "monomorphism" med "epimorphism" i definitionen ovan och ändra riktningen på alla pilar.
I kategorin uppsättningar motsvarar subobjekt av A delmängder av A , eller, mer exakt, klassen av alla inbäddningar av mängder som är ekvivalenta med en given i en given delmängd. Detsamma gäller i kategorin grupper och i vissa andra kategorier.