Polärt tröghetsmoment

Det polära tröghetsmomentet är integralsumman av produkterna av områden, elementära områden dA och kvadraten på deras avstånd från polen - ρ 2 , tagna över hela tvärsnittsarean. Det är:

J_{{p0}}=\int _{A}\rho ^{2}\,dA

Detta värde används för att förutsäga ett objekts förmåga att motstå vridning . Den har dimensionen längdenheter till fjärde potensen ( m 4 , cm 4 ) och kan bara vara positiv.

För en tvärsnittsarea som har formen av en cirkel med en radie r är det polära tröghetsmomentet:

J_{p0}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={ \frac {\pi r^{4}}{2}}={\frac {\pi (D/2)^{4}}{2}}={\frac {\pi D^{4}}{ 32}}.

Om vi kombinerar ursprunget för det kartesiska rektangulära koordinatsystemet 0 med polen för det polära systemet (se figur), då:

J_{{p0}}=J_{x}+J_{y}

därför att $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Applikation

Det polära tröghetsmomentet används i formler som beskriver förhållandet mellan skjuvspänningar och vridmomentet som orsakar dem. Skjuvspänning:

\tau ={\frac {Tr}{J_{{p0))))

var

T

- vridmoment

r

- avstånd från torsionsaxeln

{J_{{p0}}}}

är det polära tröghetsmomentet.

Polärt tröghetsmoment för vissa fall

För en rund solid sektion:

J_{{p0}}={\frac {\pi D^{4}}{32}}

var är cirkelns diameter. $D$

För en ringformad sektion (ihålig axel):

J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}\left(1-{\frac {d^{4}}{D^{4}}}\right) ,

var är den yttre diametern på ringen,

D

d

är ringens innerdiameter.

Se även

Polar motståndsmoment
Tröghetsmoment

Litteratur

Feodosiev V.I. Materialresistens. Ed. 10:e, reviderad. och ytterligare - M.: MSTU im. N. E. Bauman, 1999. Recensenter Akademiker vid den ryska vetenskapsakademin Obraztsov I.F. och doktor i tekniska vetenskaper professor Chirkov I.P.