Storleksordning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 juni 2020; kontroller kräver 7 redigeringar .

En storleksordning är en klass av ekvivalens av kvantiteter (eller skalor) som uttrycker vissa kvantiteter, inom vilken alla kvantiteter har ett fast förhållande till motsvarande kvantiteter i den föregående klassen. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Oftare är ordningen inte avsedd att betyda själva ekvivalensklassen, utan några av dess numeriska egenskaper som definierar denna klass under givna förhållanden (till exempel klassens ordningsnummer , förutsatt att någon klass var specificerad eller underförstådd). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Nummerordning

När man arbetar med tal representerade i ett visst talsystem baserat på , oftast ta och , . Samtidigt sammanfaller det med antalet siffror i ett tal, om det skrivs i ett positionsnummersystem . $b$ $r=b$ $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

Till exempel, för decimaltalssystemet i detta fall kommer varje decennium av positiva tal att tillhöra endast en ordning:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

På samma sätt kan du bestämma nummerordningarna för andra baser i talsystemet. Oftast övervägt

basordningar av nummer , $b=10$
basorder $b=2$
basordningar av nummer . $b=e$

Nummerordning i naturligt språk

I naturliga språk finns uttryck som "en storleksordning mer", "många storleksordningar mer", "ett par storleksordningar mindre". I de flesta fall antyds decimalexponenter, det vill säga dessa uttryck kan läsas som "ungefär tio gånger mer", "ungefär en gång mer, där är tillräckligt stor", "cirka 100 gånger mindre". Dessutom har den felaktiga användningen av uttrycket "av ordningen av N", där N är ett visst tal, blivit utbredd på senare tid. Samtidigt är det, utifrån sammanhanget, tydligt att "om N" avses, vilket naturligtvis inte motsvarar definitionen av begreppet "nummerordning". $10^{n}$ $n$

Nummerordning och logaritmisk funktion

Motsvarande siffror som hör till intilliggande order kan skrivas som , där är det första av talen. Den här egenskapen bestämmer sambandet mellan begreppet ordningsföljd för ett tal och den exponentiella och inversa logaritmiska funktionen . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

I synnerhet, med hjälp av konceptet med en logaritmisk funktion, kan ett nödvändigt villkor för att tal ska tillhöra samma ordning formuleras: Låt en del uppdelning i ordningar ges på mängden positiva tal. Om två nummer är av samma ordning, då . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Bevis

Låt siffrorna och vara det lägsta och högsta antalet som hör till beställningen . Om numret också hör till ordern måste dess värde uppfylla villkoret . Samtidigt hör siffrorna och till beställningar i anslutning till beställningen respektive . Det följer av detta att för vilket nummer som helst i denna ordning gäller förhållandet . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $x$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Låt två tal och tillhör den givna ordningen . Sedan . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Orderskillnad

Om två siffror och tillhör ordningarna och i någon uppdelning av positiva tal i ordningsföljder, så kallas värdet ibland för skillnaden i ordningsföljden för dessa siffror. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

För två nummer och skillnaden mellan deras beställningar kan hittas som för . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\vänster\lgolv \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\höger\rgolv$ $x_{2}\geq x_{1}$

Bevis

Vi väljer ett nummer som hör till ordern och som motsvarar ett nummer från ordern . Enligt definitionen av ordning finns det ett heltal så att . Det förstår vi . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Siffrorna och tillhör samma ordning och därför . Samtidigt är talet ett heltal, vilket betyder . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\höger\rgolv =\vänster\lgolv \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\höger\rgolv$

Vid en skillnad i order tas de ibland med negativt tecken . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

Ordningsskillnadens likhet med noll är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att talen ska tillhöra samma ordning.

Generalisering av ordningsskillnad

Ibland generaliseras begreppet ordningsskillnad, vilket tar bort kravet på att tillhöra klassen av heltal och definierar det genom uttrycket . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

I den här tolkningen får uttryck som "siffror och skiljer sig inte med mer än en halv storleksordning" på betydelse, det vill säga eller . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Se även

Länkar

Brians, Paus Storleksordningar . Hämtad 9 maj 2013. Arkiverad från originalet 22 april 2017. (obestämd)
Storleksordning . wolfram mathworld . Hämtad 3 januari 2017. Arkiverad från originalet 6 januari 2017. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska
I bibliografiska kataloger	GND : 4388665-6