Grupporder

Gruppens ordning är kardinaliteten hos gruppens bärare , det vill säga för ändliga grupper , antalet element i gruppen. Betecknad eller . $|G|$ $\mathbf {Ord(G)}$

För ändliga grupper upprättas sambandet mellan ordningen för en grupp och dess undergrupp av Lagrangesatsen : ordningen för en grupp är lika med ordningen för någon av dess undergrupper , multiplicerat med dess index - numret på dess vänstra eller högra kostymer: $G$ $H\subseteq G$

|G|=|H|\cdot [G:H]

Ett viktigt resultat om gruppordningar är klassekvationen som relaterar ordningen för en ändlig grupp till ordningen på dess centrum och storlekarna på dess icke-triviala konjugationsklasser : $G$ $\mathrm {Z} (G)$

|G|=|Z(G)|+\summa _{i}d_{i}

var är storlekarna på icke-triviala konjugationsklasser. Till exempel är mitten av en symmetrisk grupp bara en trivial grupp av ett neutralt element , och ekvationen blir . $d_{i}$ $S_{3}$ $e$ $|S_{3}|=1+2+3$

Ordningen av element i ändliga grupper delar upp dess gruppordning. Det följer av Cauchys gruppteoretiska teorem att ordningen för en grupp är en potens av ett primtal heltal om och endast om ordningen för något av dess element är en viss potens [1] . $G$ $sid$ $sid$

Anteckningar

↑ Keith Conrad. Konsekvenser av Cauchys sats.

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .