Runges regel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 maj 2019; kontroller kräver 12 redigeringar .

Runges regel - en regel för att uppskatta felet i numeriska metoder , föreslogs av K. Runge i början av 1900-talet. [ett]

Huvudidén (för Runge-Kutta-metoderna för att lösa ODEs ) är att beräkna approximationen med den valda metoden med steg h, och sedan med steg h/2, och vidare överväga felskillnaderna för dessa två beräkningar.

Tillämpning av Runges regel

Uppskattning av noggrannheten för att beräkna en bestämd integral

Integralen beräknas med hjälp av den valda formeln (rektanglar, trapetser, Simpsons paraboler) med antalet steg lika med n, och sedan med antalet steg lika med 2n. Felet vid beräkning av värdet på integralen med antalet steg lika med 2n bestäms av Runge-formeln: , för formlerna för rektanglar och trapetser , och för Simpson-formeln . [2]
$\Delta _{{2n}}\approx \Theta |I_{{2n}}-I_{{n}}|$ $\Theta ={\frac {1}{3}}$ $\Theta ={\frac {1}{15}}$

Således beräknas integralen för successiva värden av antalet steg , där är det initiala antalet steg. Beräkningsprocessen avslutas när nästa värde på N uppfyller villkoret , där är den specificerade noggrannheten. $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots$ $n_{0}$ $\Delta _{2n}<\varepsilon$ $\varepsilon$

Uppskattning av noggrannheten för den numeriska lösningen för ODE

Det används också för att uppskatta noggrannheten hos lösningar på vanliga differentialekvationer på vanliga rutnät. För uppskattning krävs att problemet löses på 2 rutnät, en gång med steg h ( ) och det andra med steg h/2 ( ). Formel [3] $y_{{i,h}}$ $y_{{i,h/2}}$

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \över {2^{p}-1}$

ger lösningens fel . Med menas noggrannhetsordningen för den använda numeriska metoden. Till exempel, för en numerisk metod som har den fjärde ordningen av noggrannhet, har formeln formen: $y_{{i,h/2}}$ $sid$

${1 \over 15}|y_{{i,h}}-y_{{i,h/2}}|$

Anteckningar

↑ Ivan P. Gavrilyuk, "2.4 A posteriori feluppskattning och automatisk rutnätgenerering." // Exact and Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs, Springer, 2011, ISBN 9783034801072 , pages 76-77: "Den första möjligheten är den klassiska tekniken som har föreslagits av Carl Runge."
↑ Ogorodnikov A. S., Orlov O. V., 6. Runges regel för estimering av integrationsfel Arkivexemplar daterad 14 september 2013 på Wayback Machine // Laboratoriearbete nr 4. Numerisk integration, Laboratorieverkstad på kursen "Numeriska metoder" (ENIN) Arkiverad 8 december 2015 på Wayback Machine , Tomsk Polytechnic University
↑ P. V. Vinogradova, A. G. Ereklintsev, 8. NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY FIRST ORDERS DIFFERENTIAL EQUATIONS Arkiverad 14 september 2013 på Wayback Machine // NUMERICAL METHODS Archived March 4, 2016 at the Wayback State Machine 1,0,01

Litteratur

RUNGE REGEL // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Berezin I.S., Zhidkov N.P. , Computational Methods, 3:e upplagan, volym 1, M., 1966; 2:a upplagan, volym 2, M., 1962;
Moderna numeriska metoder för att lösa vanliga differentialekvationer, trans. från engelska, M., 1979. A. B. Ivanov.

Länkar

Osokin AE, 4.7 Runges regel för feluppskattning. Richardsons extrapolering. Arkivkopia daterad 24 maj 2013 på Wayback Machine // INTRODUKTION TILL NUMERISKA ANALYSMETODER OCH LINJÄR ALGEBRA Arkivkopia daterad 1 januari 2013 på Wayback Machine , Gorno-Altai State University, 2002