Ruffinis regel

Ruffinis regel är en effektiv teknik för att dela upp ett polynom i ett binomial av formen År 1804 beskrevs det av Paolo Ruffini . [1] Ruffinis regel är ett specialfall av syntetisk division när divisorn är linjär. $xr.$

Algoritm

Regeln fastställer en metod för att dividera ett polynom

{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0))

på binomial

Q(x)=xr

för privat

{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0))

;

Faktum är att algoritmen utför kolumndelning P ( x ) med Q ( x ).

För att dividera P ( x ) med Q ( x ) enligt denna algoritm behöver du

Ta koefficienterna P ( x ) och skriv ner dem i ordning. Skriv sedan r till vänster, precis ovanför raden: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&\\\end {array}}$
Flytta koefficienten längst till vänster ( a n ) nedåt, precis under linjen: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\\hline &a_{n}&&&&\\& =b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Multiplicera talet längst till höger under linjen med r och skriv det nästa ovanför raden: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Lägg till två värden i samma kolumn: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}$
Upprepa steg 3 och 4 så länge det finns siffror: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1} &=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Siffrorna b i är koefficienterna för kvoten ( R ( x )), vars grad är en mindre än graden av P(x). Det sista mottagna värdet på s är resten . Enligt Bezouts teorem är denna återstod P ( r ).

Användning

Division med polynom x - r

Ett fungerande exempel på att dividera polynom enligt algoritmen som beskrivs ovan.

Låta:

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,

Q(x)=x+1.

Vi vill hitta med hjälp av Ruffinis regel. Huvudproblemet är att detta inte är ett binomial av formen , utan snarare måste vi skriva om det så här: $P(x)/Q(x)$ $Q(x)$ $xr,$ $x+r.$