Förboka

En förordning ( kvasiordning ) är en binär relation på en mängd som har egenskaperna reflexivitet och transitivitet . Vanligtvis betecknas denna relation , då tar förbeställningsaxiomen på mängden formen: $\precurlyeq$ $M$

\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a

\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)

En linjär förbeställning är en förbeställning på en uppsättning för vilken två olika element i uppsättningen är jämförbara:

\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)

Kategoriteori

En kategori kallas en förbeställning om det finns högst en morfism för två objekt . Om det är en liten kategori kan man på uppsättningen av dess objekt ställa in förbeställningsrelationen enligt följande regel: ${\mathcal P}$ $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ $f\colon a\to b$ ${\mathcal P}$

a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b

Av kategorins axiom följer att en sådan relation kommer att vara reflexiv och transitiv. En förbeställning är en abstrakt kategori , det vill säga i det allmänna fallet kan den inte representeras som en kategori av vissa uppsättningar med en given struktur och mappningar som bevarar denna struktur. Förbeställning är också en skelettkategori .

Om en liten kategori är komplett i en liten , är det en förbeställning, och varje liten uppsättning av dess element har den största nedre gränsen. Produkten av en uppsättning (uppsättning, klass) av förbeställda objekt är den största nedre gränsen för denna uppsättning. Samprodukten av en uppsättning objekt är dess minsta övre gräns . Det initiala objektet i förbeställningen , om det finns, är dess minsta objekt, så . På samma sätt är terminalobjektet för en förbeställning det största objektet i den. ${\mathcal C}$ $0$ ${\mathcal P}$ $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$

Objekten i kategorin förbeställningar (vanligtvis betecknad med ) är förbeställningar (i betydelsen kategorier), i synnerhet uppsättningar på vilka förbeställningsrelationen ges. Morfismer i denna kategori är uppsättningsmappningar som bevarar förorderrelationen, det vill säga monotona mappningar . En underkategori av små förbeställningar är en konkret kategori utrustad med en uppenbar univalent glömsk funktion : $\mathbf {Förbeställning}$ $\mathbf {Preord} _{S}$

U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set}

tilldela varje liten förbeställning en uppsättning av dess objekt, och till varje morfism en monoton kartläggning av motsvarande uppsättningar. Denna funktion skapar gränser i . På samma sätt är det initiala objektet i en tom uppsättning , terminalobjektet är en uppsättning av ett element, produkten av objekt är den direkta produkten av motsvarande uppsättningar med en komponent-för-komponent jämförelse. $\mathbf {Förbeställning}$ ${\mathbf {Set}}$ $\mathbf {Förbeställning}$

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analys av logik = Topoi. Den kategoriska analysen av logik / Per. från engelska. V. N. Grishin och V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 sid.
McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .