Boussinesq uppskattning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 juni 2018; kontroller kräver 2 redigeringar .

Termiska konvektionsekvationer ( Boussinesq equations, Boussinesq approximation ) i Boussinesq - Oberbeck approximationen är den mest populära modellen för att beskriva konvektion i vätskor och gaser.

Modellen inkluderar Navier-Stokes-ekvationen , värmeekvationen och inkompressibilitetsekvationen . Huvudtanken med approximationen är att ta hänsyn till densitetens beroende av temperatur . Nämligen, i systemet med konvektionsekvationer, beaktas detta beroende endast för kroppskrafter :

$\rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec { v))\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\rho (T){\vec {g)),$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatörsnamn {div}{\vec v}=0,$

där är flödeshastigheten, är den absoluta temperaturen, är trycket , är den dynamiska viskositeten , är den termiska diffusiviteten och är accelerationen för fritt fall . ${\vec {v}}$ $T$ $sid$ $\eta$ $\chi$ ${\vec g}$

En linjär approximation används ofta för densitetens beroende av temperatur:

$\rho (T)=\rho _{0}(1-\beta \theta )$ ,

där är volymexpansionskoefficienten , är temperaturavvikelsen från jämviktstillståndet, är vätskedensiteten vid någon jämviktstemperatur . Eftersom temperaturavvikelsen vanligtvis är relativt liten har den linjära approximationen en acceptabel noggrannhet i de flesta av de problem som studeras. $\beta$ ${\displaystyle \theta =T-T_{0))$ $\rho _{0}$ $T_{0}$ $\beta$

Substitutionen av densitetens linjära beroende och renormaliseringen av trycket gör det möjligt att eliminera termen . Slutligen tar problemet med konvektion av en inkompressibel vätska i Boussinesq-approximationen följande form: $\rho _{0}{\vec {g))$

${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho _{0))}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta \theta {\vec {g)),$

${\frac {\partial \theta }{\partial t))+{\vec {v))\cdot \nabla \theta =\chi \Delta \theta ,$

$\operatörsnamn {div}{\vec v}=0,$

här är den kinematiska viskositeten . $\nu$

Det givna problemet med konvektion i olika formuleringar har studerats upprepade gånger. Rayleigh-Benard-problemet med konvektion i ett plant lager av vätska är det mest kända . Under vissa förhållanden är en exakt lösning av problemet möjlig, till exempel för laminär konvektion i ett vertikalt lager med uppvärmning från sidan (ibland kallat "Gershuni-problemet").

Se även

Villkor för förekomsten av konvektion

Litteratur

Ostroumov GA Fri termisk konvektion under förhållanden med ett internt problem. Moskva - Leningrad. Gostekhizdat. - 1952.
Landau L. D., Lifshits E. M. Kurs i teoretisk fysik. T. 6. Hydrodynamik. - M.: Nauka. - 1988. - 736 s. - § 56
Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Stabilitet av konvektiva flöden. - M.: Nauka. - 1989.
Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Konvektiv stabilitet hos en inkompressibel vätska. - M.: Nauka. - 1972.
Krigel A. M. Om tillämpligheten av den fria konvektionsapproximationen på atmosfärisk turbulens // Bulletin of the Leningrad State University. Universitet.- Ser.7.-1991.-Iss.2(14).-S.107-110.