Phragmen-Lindelöf princip

För analytiska funktioner är den så kallade maximimodulprincipen giltig , som föreskriver en tydlig placering av maximimodulen för en analytisk funktion i något begränsat område uteslutande på gränsen till denna region. I det allmänna fallet, för obegränsade domäner, är detta antagande inte sant. Men när man lägger några ytterligare begränsningar på funktionen kan det visas att funktionen kommer att vara modulo-begränsad och i en ogränsad domän.

Phragmen-Lindelöf-principen för en obegränsad sektor

Låt funktionen vara analytisk i sektorn och kontinuerlig på sin gräns. Sedan, om ojämlikheten är giltig på gränsen för denna sektor och det finns konstanter så att ojämlikheten är sann i hela sektorn , då är ojämlikheten giltig i hela sektorn. $f$ $S=\{z:-{\frac {\pi }{4}}<\arg z<{\frac {\pi }{4}}\}$ $|f(z)|\leq 1$ $c,C\in \mathbb {R}$ $|f(z)|\leq Ce^{c|z|}$ $|f(z)|\leq 1$

Phragmen-Lindelöf-principen för den vertikala halvremsan

Låt vara en oändlig vertikal halvremsa, låt det sedan vara konstanter så att olikheten håller på gränsen för remsan , och olikheten håller på själva remsan . Då är det uppfyllt i hela bandet. $\Omega =\{z:\mathop {\mathrm {Im} } \,z>y_{0},x_{1}<\mathop {\mathrm {Re} } \,z<x_{2} \}$ $M,A,B$ $|f(z)|\leq M$ ${\displaystyle |f(z)|\leq B{(\mathop {\mathrm {Im} } \,f(z))}^{A))$ $|f(z)|\leq M$