Förhöjd cosinus (filter)

Förhöjt cosinusfilter (PCF) är ett speciellt elektroniskt filter som ofta finns i telekommunikationssystem på grund av dess förmåga att minimera intersymbol distorsion (ISI). Dess namn kommer från det faktum att den icke-noll-delen av frekvensspektrumet i sin enklaste form ( ) är en cosinusvåg som höjs så att den "sitter" på den horisontella axeln . $\beta=1$ $f$

Matematisk beskrivning

FPC är en implementering av Nyquist LPF , det vill säga den har egenskapen partiell symmetri. Detta betyder att dess spektrum har en udda symmetri med avseende på , där symbolens varaktighet är i kommunikationssystemet. ${\frac {1}{2T}}$ $T$

För att beskriva det i frekvensdomänen används en styckvis funktion , given av formeln:

H(f)={\begin{cases}1.0,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[ 1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right], &{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{annars}}\end{cases} }

0\leq \beta \leq 1

och kännetecknas av två värden; är utjämningskoefficienten och är den reciproka av symbolhastigheten. $\beta$ $T$

Filtrets impulssvar beskrivs med formeln:

h(t)=\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T))\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T }}\right)}{1-{\frac {4\beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}

, uttryckt i termer av normaliserade sinc-funktioner.

Utjämningsfaktor

Utjämningsfaktorn är ett mått på passbandsredundansen för ett filter, det vill säga frekvensbandet utanför Nyquistbandet . Om vi betecknar bandets redundans med , då: $\beta$ ${\frac {1}{2T}}$ $\Delta f$

\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)))={\frac {\Delta f}{R_{S}/2} }=2T\Delta f

var är symbolhastigheten. $R_{S}={\frac {1}{T))$

Grafen visar frekvenssvaret vid ändring från 0 till 1, och motsvarande effekt på impulssvaret. Som kan ses, i tidsdomänen, ökar mängden rippel med . Detta indikerar att filterbandsredundansen kan reduceras, men endast genom att förlänga impulssvaret. $\beta$ $\beta$

\beta =0

Så snart den når 0 blir utjämningszonen så smal som möjligt, därför: $\beta$

\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)

där är en rektangulär funktion, omvandlas impulssvaret till . $\mathrm {rect} (.)$ $\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T))\right)$

Därför tenderar det mot ett perfekt eller rektangulärt filter i detta fall.

\beta=1

När , den icke-noll delen av spektrumet är en ren förhöjd cosinus, vilket leder till en förenkling: $\beta=1$

H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\ höger)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{annars}}\end{matris}}\right.

Bandbredd

FPC-bandbredden definieras vanligtvis som bredden på den del av spektrumet som inte är noll, dvs.

BW=R_{S}(1+\beta )

Applikationer

När det används för att filtrera en teckenström har Nyquist-filtret en ISI-elimineringsegenskap eftersom dess impulssvar är 0 totalt (där är ett heltal) förutom . $nT$ $n$ $n=0$

Således, om den sända signalen är korrekt samplade vid mottagaren, kan de ursprungliga symbolvärdena återställas helt.

I de flesta praktiska kommunikationssystem måste dock ett matchat filter användas i mottagaren på grund av effekterna av vitt brus. Detta inför följande begränsningar:

H_{R}(f)=H_{T}^{*}(f)

det är:

|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}

För att uppfylla detta villkor, och samtidigt som no-ISI-villkoret bibehålls, appliceras vanligen roten av FPC i varje ände av kommunikationssystemet. I ett sådant fall är systemets totala respons en förhöjd cosinus.

Litteratur

Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital kommunikation (2:a uppl.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4 .
Proakis, J. (1995). Digital kommunikation (3:e upplagan). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 .

Länkar

Överföring av en digital signal över smalbandskanaler. Intersymbolinterferens och Nyquist-formningsfilter