Produkt av åtgärder

Produkten av mått inom funktionsanalys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner är ett formellt sätt att konstruera ett mått på den kartesiska produkten av två rum med mått.

Byggnad

Låt vara två mellanslag med mått . Sedan är den kartesiska produkten av uppsättningarna och . $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ ${\displaystyle X_{1}\ gånger X_{2))$ $X_{1}$ $X_{2}$

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ är en familj av delmängder . Det är generellt sett inte stängt under räkningsbara fackföreningar och är därför inte en -algebra . Låt oss presentera notationen ${\displaystyle X_{1}\ gånger X_{2))$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F} } }_{2})

är den minimala -algebra som innehåller . Då är ett mätbart utrymme . Vi definierar ett mått på det enligt följande: $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Sedan fortsätter det unikt från till : $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\ mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

eller

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\ mu _{1}(dx_{1}),

var

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

är ett avsnitt längs , och

A

x_{2}\in X_{2}

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

- avsnitt längs .

A

x_{1}\in X_{1}

Det resulterande måttet kallas produkten av måtten och . Måttutrymmet kallas den (direkta) produkten av de ursprungliga mellanrummen. $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $(X_{1}\ gånger X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \ mu_{2})$

Anteckningar

Om det finns två sannolikhetsutrymmen kallas det deras produkt. $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$
Om är slumpvariabler , då är fördelningarna på och , respektive, och är fördelningen på slumpvektorn . Om är oberoende , då $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y))$ $\mathbb {R}$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top ))$ $X,\;Y$