Fréchet derivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 augusti 2013; kontroller kräver 4 redigeringar .

Fréchet-derivatan (stark derivata) är en generalisering av begreppet en derivata till oändligt dimensionella Banach-rum . Namnet ges för att hedra den franske matematikern Maurice Fréchet .

Definition

Låt vara en operatör som agerar från ett riktigt Banach-utrymme till ett riktigt Banach-utrymme . $F\colon X\rightarrow Y$ $X$ $Y$

Fréchet-derivatan av en operator vid en punkt är en avgränsad linjär operator så att följande likhet gäller för alla: $F$ $x\i X$ $A\colon X\rightarrow Y$ $h\in X$

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

och förhållandet är sant för den återstående termen : $r_{0}(x,\;h)$

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\högerpil 0$ på $\|h\|_{X}\högerpil 0.$

Om Fréchet-derivatet finns, sägs operatorn vara starkt differentierbar . Den linjära delen av inkrementet i detta fall kallas Fréchet-differentialen för funktionen . $F$ $Ah$ $F$

Det kan visas att Fréchet-derivatet, när det finns, är detsamma som Gateaux-derivatet .

Egenskaper

Låt vara kartläggningar av normerade utrymmen. Då uppfyller Fréchet-derivatet: $f,g:G\rightarrow Y$

$(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
$(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$ , där λ är någon skalär från fältet över vilket de normerade utrymmena är definierade.
$(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$ .

Se även

Litteratur

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 sid. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal Control — Vilken utgåva som helst.