Enkel funktion

En enkel funktion är en mätbar funktion som tar ett ändligt antal värden.

Definition

En funktion definierad på ett mätbart utrymme kallas enkel om det finns en partition i ett ändligt antal icke-korsande mätbara uppsättningar och en uppsättning tal (vanligtvis reella eller komplexa) så att för alla . $f$ $(X,{\mathcal {F}})$ $X$ $A_1,\dots,A_n$ $a_1,\dots,a_n$ ${\displaystyle f(x)=a_{i))$ ${\displaystyle x\in A_{i))$

Anteckningar

Om är ett sannolikhetsutrymme , då kallas en enkel funktion en enkel slumpvariabel . $(X,{\mathcal {F)))\equiv (\Omega ,{\mathcal {F)))$
Om är ett mellanslag med mått , enkelt och $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f:X\to \mathbb {R}$

f(x)=\summa _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X

och ,

\mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n

sedan Lebesgue integrerbar , och

f

\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})

Exempel

Låt , där är Borel sigma-algebra på , och är Lebesgue-måttet . Sedan funktionen $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\ i \mathbb {R}

enkelt, eftersom det är mätbart och tar tre olika värden.

Litteratur

Rudin, U. Fundamentals of matematisk analys = Principer för matematisk analys / Översatt från engelska. V.P. Khavin . - M . : Mir, 1966. - 319 sid.