Pseudo-harmoniska vibrationer

Pseudo-harmonisk svängning är en typ av svängning där den återställande kraften (kraften som tenderar att återföra kroppen till ett jämviktstillstånd) inte är linjär i storleken på avvikelsen. Detta är med andra ord vibrationer för vilka systemets "flexibilitet" beror på förskjutningen.

Oscillationsekvationen

Allmän form av ekvationen för pseudoharmoniska svängningar:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\dots )

Om det är möjligt att försumma alla termer av F som är icke-linjära i x, så förvandlas denna ekvation till en ekvation av harmoniska svängningar .

Exempel

En elastisk viktlös tråd med längden 2l är fixerad i båda ändar. En last med massa m är fixerad i mitten av tråden. I det första ögonblicket avlägsnas lasten från jämviktsläget med ett avstånd a << l och släpps utan initial hastighet. Trådens dragkraft är P, dess tvärsnitt är F och Youngs modul är E. Svängningsekvationen kommer i detta fall att skrivas som:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

Lösningen på denna ekvation kan representeras som:

x=a\,\operatörsnamn {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Här betecknar symbolen Jacobis elliptiska funktion . Perioden för sådana svängningar är lika med: $\operatörsnamn {cn}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\höger)

Här är K den fullständiga normala elliptiska integralen av det första slaget

Se även

Harmoniska vibrationer

Litteratur

Yu.S. Sikorskys vanliga differentialekvationer //M., URSS, 2005