Pseudotopologiskt utrymme

Ett pseudotopologiskt utrymme är en uppsättning med en ytterligare gränsstruktur av en viss typ (den så kallade pseudotopologin). Historiskt sett framstod föreställningen om ett pseudotopologiskt utrymme som en generalisering av ett topologiskt utrymme . Pseudotopologiska utrymmen introducerades 1959 av Fischer [1] . Pseudotopologiska rum uppstår naturligt vid konstruktionen av differentialkalkylen i normlösa rum. [2] Topologiska utrymmen kan betraktas som specialfall av pseudotopologiska. [3]

Definition

Ett pseudotopologiskt utrymme är en uppsättning som är utrustad med en pseudotopologi. Uppsättningen kallas bäraruppsättningen för utrymmet och betecknas med . Om filtret konvergerar till en punkt i den givna pseudotopologin, betecknas detta som . Pseudotopologin i bestäms genom att specificera för varje familj av filter för att uppfylla följande villkor: $E$ $M$ $M$ $E$ $\underline{E}$ $\mathrm{X}$ $E$ $x$ $\Chi \downarrow_{x} E$ $M$ $x \i M$ $M$

Om filtret konvergerar till , då konvergerar alla mindre filter till . $x$ $x$ $\Chi \downarrow_{x} E, \Psi \leqslant \Chi \Rightarrow \Psi \downarrow_{x} E$
Om två filter konvergerar till , då konvergerar deras övre gräns också till . $x$ $x$ $\Chi_{1} \downarrow_{x} E, \Chi_{2} \downarrow_{x} E \Rightarrow \Chi_{1} \vee \Chi_{2} \downarrow_{x} E$
Filtret konvergerar till . $\vänster [ x \höger ]$ $x$ $\left [ x \right ] \downarrow_{x} E$

Anteckningar

↑ Fisher H.R., Limesraume, Math. Ann 137 (1959), 269-303
↑ Frölicher, 1970 , sid. 6.
↑ Frölicher, 1970 , sid. 21.

Litteratur

Frölicher, A., Bucher W. Differentialkalkyl i vektorrum utan norm. — M .: Mir, 1970.