Förlängd nummerrad

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 oktober 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

En förlängd ( affint förlängd ) tallinje  är en uppsättning reella tal , kompletterade med två punkter i oändligheten : (positiv oändlighet) och (negativ oändlighet), det vill säga . Det bör förstås att de inte är tal och har en något annorlunda karaktär, men för dem, såväl som för reella tal, definieras också ordningsrelationen . Dessutom anses själva elementen vara ojämlika med varandra. [ett]

I det här fallet, för alla reella tal , per definition, antas ojämlikheterna vara uppfyllda . I vissa didaktiska material används termen "förlängd tallinje" i relation till en tallinje förlängd med en punkt i oändligheten , inte relaterad till reella tal med en ordningsrelation, därför är ibland, för förtydligande, en linje med en oändlighet kallas projektivt utsträckt , och med två - affint utsträckt . [2]

Plustecknet för ett element utelämnas ofta inte som med andra positiva tal för att undvika förväxling med oändligheten av den projektivt förlängda tallinjen. Men ibland utelämnas fortfarande tecknet, och i sådana fall brukar den projektiva oändligheten betecknas som .

Beställ

Uppsättningen av reella tal är linjärt ordnad med avseende på . Det finns dock inga max- och minimielement . Om vi ​​betraktar ett system av reella tal som en linjärt ordnad mängd, så består dess utvidgning till systemet bara av att lägga till de maximala ( ) och minimum ( ) elementen.

På grund av detta har alla icke-tomma mängder i systemet en exakt övre gräns (ändlig om mängden är avgränsad ovan , och om den inte är begränsad ovan ). Ett liknande uttalande gäller också för den minsta nedre gränsen . Detta förklarar bekvämligheten med att introducera elementen och . [3] [4]

Det finns 3 typer av intervall i den utökade tallinjen : intervall, halvintervall och segment.

 - intervall ,  - halvintervall  - linjesegmentet

Eftersom oändligheterna här är samma lika element som talen, särskiljs inte finita och oändliga intervall som separata typer av intervall. [5]

Topologi

Orderrelationen genererar en topologi på . I topologi är öppna luckor luckor av formen:

var . Öppna uppsättningar , å andra sidan, definieras som alla möjliga sammanslutningar av öppna intervall.

Omgivningar

En grannskap till en punkt är vilken öppen mängd som helst som innehåller denna punkt. Och som följer av definitionen av topologi öppna uppsättningar inkluderar varje grannskap av en punkt en av de öppna luckorna som innehåller .

I kurserna för matematisk analys introduceras vanligtvis ett mer specifikt begrepp - grannskapet till en punkt på den förlängda reella linjen ( ).

I fallet , det vill säga när är ett tal, kallas grannskap en mängd :

Om , då:

och om , då:

Begreppet -kvarter för oändliga tal definieras på ett sådant sätt att i alla fall - när är ett reellt tal, eller en av oändligheterna - när antalet minskar, minskar motsvarande stadsdelar: . [6]

Punkterade kvarter och -kvarter definieras som kvarter respektive -kvarter från vilka själva punkten har tagits bort.

Begränsningar

I många matematisk analyskurser definieras ofta gränserna för att tendera till plus eller minus oändligheten separat. Likheterna för gränserna plus och minus oändlighet definieras ofta separat. Alla dessa situationer passar in i en enda definition av gränsen (vilket motsvarar den allmänna topologiska definitionen av gränsen ).

Låt , var . I synnerhet kan vara en reell funktion av en reell variabel. Låt . Sedan:

Samtidigt omfattas inte tendensen till oändlighet på båda sidor och jämlikheten av gränsen för osignerad oändlighet av denna definition. Dessa fall kan också omfattas av den allmänna topologiska definitionen av gränsen, men i en annan struktur, nämligen i en projektivt utsträckt reell linje.

Trots att affint och projektivt utsträckta tallinjer har olika strukturer är gränserna i dem sammankopplade. Om gränsen i är lika med en av oändligheterna, så är den också lika med oändligheten. Tvärtom, det fungerar inte: om gränsen i är lika med oändligheten, betyder det inte att den i den kommer att vara lika med en av oändligheterna. Ett exempel på detta är fortfarande detsamma i lika med oändlighet, men i det existerar inte. Sambandet mellan de två strukturerna kan dock fortfarande formuleras som ett påstående i båda riktningarna: gränsen i är lika med oändligheten är lika med oändligheten om och bara om den i den antingen är lika med en av oändligheterna eller inte existerar, men uppsättningen av dess partiella gränser består endast av oändlighet.

Kompakthet

 är ett kompakt Hausdorff- utrymme. Utrymmet av reella tal är komplett men inte kompakt. Således kan det utökade systemet med reella tal ses som en tvåpunktskomprimering . [2] I detta fall visar det sig vara homeoform till segmentet . Detta faktum har en tydlig geometrisk illustration. Analytiskt homeoformism ges av formeln:

Bolzano -Weierstrass-satsen gäller för vilken sekvens som helst, inte bara en begränsad. Detta betyder att varje sekvens i har en undersekvens som konvergerar till . Alltså sekventiellt kompakt.

Operationer

För reella tal och element definieras följande åtgärder:

Innebörden av uttrycken , , , är inte definierade. [2]

I motsats till vad många tror är innebörden av uttrycket , där , också odefinierad. Att utöka detta uttryck till en av oändligheterna kommer att bryta kontinuiteten i divisionsoperationen. Detta kan illustreras med exemplet på funktionen . Dess gräns vid noll till vänster är , och till höger , vilket betyder att det inte finns någon dubbelsidig gräns vid denna punkt. På grund av detta, oavsett hur vi utökar definitionen av funktionen till noll, kommer den att förbli diskontinuerlig.

Notationen stöter ofta på eller refererar till en fundamentalt annorlunda struktur - en projektivt förlängd tallinje, där oändligheten är ett helt annat objekt.

Algebraiska egenskaper

Följande likheter betyder: båda delarna är antingen båda lika eller båda är inte meningsfulla

Följande likheter är sanna om deras högra sida är definierad.

Följande egenskaper är sanna om båda sidor av den rätta ojämlikheten är meningsfulla

Se även

Projektivt förlängd tallinje

Anteckningar

  1. Kudryavtsev, 2003 , sid. 64.
  2. 123 Wolfram . _ _
  3. Kudryavtsev, 2003 , sid. 75.
  4. Rudin, 2004 , sid. 24.
  5. Kudryavtsev, 2003 , sid. 65.
  6. Kudryavtsev, 2003 , sid. 66.

Litteratur