Peano rad

Peano-serien är en oändlig summa där termerna erhålls genom successiv tillämpning av operatorerna för integration och matrismultiplikation.

Peano-serien föreslogs 1888 av Giuseppe Peano [1] för att bestämma matrisanten för ett system av vanliga differentialekvationer av normal form [2] . Den allmänna teorin och egenskaperna hos matrisanter för ekvationssystemet med normal form (SNV) utvecklades av F. R. Gantmakher [3] .

På senare år har algoritmer baserade på tillämpningen av Peano-serien använts i stor utsträckning för att lösa tillämpade problem [4] . I samband med utvecklingen av datorteknik blev det möjligt att implementera sådana algoritmer inte bara i analytisk, utan också i numerisk och numeriskt-analytisk form.

Definition

System av linjära differentialekvationer med variabla koefficienter av normal form (SNV):

$\int Y'dx=AY+F$ ,

var är vektorn för okända funktioner, är matrisen av koefficienter är vektorn för givna funktioner (vektor för "laster"). $Y$ $A$ $F$

$Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left( t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots, n$ .

Den allmänna lösningen av ett system av differentialekvationer av normal form uttrycks i termer av en matris av grundläggande lösningar (matrisant):

$\Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]$ .

$Y=\Omega C+{Y_{F}}$ , ${Y_{F}}=\Omega \int {{\Omega ^{-1}}F}$

J. Peano visade att matrismatrisen kan representeras som en operatorserie: $A$

$\Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A \,+\ldots$ ,

var finns identitetsmatrisen. I detta fall måste matrisen vara en avgränsad och integrerbar matrisfunktion i ändringsintervallet för det aktuella argumentet. Serien konvergerar absolut och likformigt i alla slutna intervall där matrisen A är kontinuerlig. $E$ $A$

Integrationsoperatorn är en integral med en variabel övre gräns:

$\int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots}\right)}\,dt\,;{ \begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots }\right)=\,\int {\int {\ left({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi } }{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{array}}\,dt$ .

Av dessa uttryck följer att

$\Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E$ .

${\omega _{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\ höger)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\left\{{y_{0,i}}\right\}^{T));\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\left({t_{0}}\right)$ .

En annan, fysiskt mer bekväm, form av representation av den allmänna lösningen är också möjlig:

$Y=\Omega \cdot ({Y_{0))+{U_{P)))\,;\quad {U_{P))=\int ({\Omega ^{-1))F\ ,.}$ .

Här är vektorn för initiala värden som ges vid . är vektorn för yttre påverkan som verkar vid . Utan förlust av allmänhet kan vi anta att . $Y_{0}$ $t=t_{0}$ ${\displaystyle U_{P))$ ${\displaystyle t\geq t_{0))$ $t_{0}=0$

Således, om variabeln fysiskt representerar tid, då är den allmänna lösningen en lösning på Cauchy-problemet, och om variabeln fysiskt representerar avstånd, då är den allmänna lösningen en lösning på gränsvärdesproblemet i form av metoden för initiala parametrar [1].

Konvergensdomän för Peano-serien

Peano-serien konvergerar absolut och enhetligt i ett givet förändringsintervall om majorantserien konvergerar $t$

$M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu ({\left(t\right)}^{2))}{2!))+{\frac { {n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu { {\left(t\right)}^{k}}}{k!}}+\ldots$ ,

$\mu \left(t\right)=\mathop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij)) \left(t\right)}\right|dt}$ .

Därför bestäms konvergensen av serien av värdet av det största värdet av integralen av det absoluta värdet av funktionerna i ett givet förändringsintervall . $a_{{ij}}$ $t$

Tillämpning av Peano-serien på lösningen av linjära differentialekvationer

Linjär differentialekvation med variabla koefficienter

${y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2) }}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)$

kan reduceras till ett ekvivalent system av ekvationer av normal form genom att införa notationen

${y_{i}}={y^{(i-1)}});{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots , n}\\\end{array}}$ .

Genom att differentiera denna jämlikhet får vi: ${y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}$

Dessa likheter kan betraktas som STRN-ekvationerna för . Den sista ekvationen kan erhållas från den ursprungliga ekvationen genom att flytta alla termer, utom , till höger sida, skriva dem i omvänd ordning och uttrycka derivatorna i termer av variabler med motsvarande nummer: $i-1,2,\dots ,n-1$ $y^{{(n)}}$

${\begin{array}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2} }{y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}} =-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots -{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_ {n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{array}}$

Då får vi ett likvärdigt system av normal form:

$Y'=AY+F$ .

Matrisen och vektorn för detta system har formen: $A$ $F$

$A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&. &.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{ a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{array} }\höger]$ ; . $F={\left\{{0,\ldots ,0,f(x)}\right\}^{T))$

I en vektor är varje efterföljande element en derivata av det föregående. Därför är varje efterföljande rad i , med början från den andra, en derivata av den föregående: $Y$ $\Omega$

${\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}$

Om vi betecknar , kan matrisanten representeras som: ${\omega _{1j))={\psi _{j))$

$\Omega =W=\left[{\begin{array}{*{20}{c))({\psi _{1)),{\psi _{2)),\ldots ,{\ psi _{n))}\\{{{\psi '}_{1)),({\psi '}_{2)),\ldots ,({\psi '}_{n))}\ \\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots ,\psi _{n}^{(n- 1)}}\\\end{array}}\right]$

Således är matrisanten för ett ekvivalent system av normal form en Wronsky-matris[1], och systemet med fundamentala lösningar är normaliserat till noll.

Peano-serien för att lösa andra ordningens differentialekvationer

Betrakta en ekvation med godtyckliga variabla koefficienter:

$y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)$ .

Denna ekvation reduceras till ett system av normal form:

$Y={\left\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T))$ ; ; . $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_ {1}}}\\\end{array}}\right]$ $F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T))$

Om , då kan elementen i matrismedlet representeras som: $a_{1}=0$

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0} }+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_ {0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _ {12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _ {}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}} \int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0} }+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0 }}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{ 0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{ a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _ {}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{array}}\right .$

Om integralerna tas, så kan lösningen representeras i form av serier med avseende på vissa funktioner. Som ett exempel på tillämpningen av dessa formler, betrakta oscillationsekvationen

$y''+{\omega ^{2}}\,y=0$ , . ${a_{0}}=-{\omega ^{2));\quad {a_{1}}=0$

Elementen i matrismedlet erhålls i form av följande rader:

${\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{ 4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,$ ;

${\omega _{12}}=t\;.-{\frac ({\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^ {4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t$ .

Elementen i den andra raden i matrismedlet erhålls genom att differentiera den första raden:

$\Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \, \omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{array}}\right]\,$ .

Av stort praktiskt intresse är lösningen av Sturm-Liouville-problemet [1] för ekvationer av formen:

$y''+\,\lambda \,({\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a }}_{0}}$ .

I det här fallet kommer elementen i serien att multipliceras med motsvarande potens av talet . Till exempel: $\lambda$

${\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _ {}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{ 2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }$

${\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{} {a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^ {}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}\int \limits _{} ^{2}{a_{0}}-\ldots }\ldots }$

När gränsvillkoren är uppfyllda vid kanterna av ändringsintervallet för argumentet, gör dessa formler det möjligt att komponera ett polynom vars rötter ger hela spektrat av egenvärden [4].

Implementering av algoritmen i numerisk form

I de fall där integraler inte tas eller för komplexa och besvärliga uttryck erhålls, är en numerisk algoritm för att lösa problemet möjlig. Ändringsintervallet för argumentet delas av en uppsättning noder i tillräckligt små lika intervall. Alla funktioner som är involverade i att lösa problemet specificeras av en uppsättning värden vid rutnätsnoderna. Varje funktion har sin egen vektor av värden i rutnätsnoder. Alla integraler beräknas numeriskt, till exempel med trapetsmetoden.

Lösning av tillämpade problem

Algoritmer baserade på tillämpningen av Peano-serien används för att lösa problem med statik, dynamik och stabilitet för stavar, plattor och skal med varierande parametrar. Vid beräkning av tvådimensionella system används dimensionsreduktionsmetoder. Vid beräkning av rotationsskal beskrivs skalets parametrar och belastningen i omkretsriktningen av trigonometriska serier. Ekvationssystemet av normalformen sammanställs för varje överton som beskriver förändringen i skalets egenskaper, krafter och deformationer i längdriktningen, och en generell lösning av gränsvärdesproblemet erhålls. Denna del av problemet löses vanligtvis numeriskt. Sedan, med användning av kompatibilitetsvillkoren, kombineras dessa övertoner, och skalets spännings-töjningstillstånd erhålls, som ändras i längd- och omkretsriktningarna.

Anteckningar

↑ Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math. Ann. 32 (1888), 450-456.
↑ Matematisk uppslagsverk. Volym 3 och 4. Kap. redaktör I. M. Vinogradov. - M .: Förlag för den sovjetiska uppslagsverket. 1982.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M.: Nauka, 1967. — 575 sid.
↑ Ulitin V.V. Peano-serien och matrismedel för att lösa tillämpade problem: monografi. - St. Petersburg: Publishing House "Park Com", 2012. -164 sid.