Lorentz kraft

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 oktober 2022; kontroller kräver 7 redigeringar .

Lorentzkraften är den kraft med vilken det elektromagnetiska fältet , enligt klassisk (icke-kvant) elektrodynamik [1] , verkar på en punktladdad partikel [ 2] [3] . Ibland kallas Lorentz-kraften den kraft som verkar på en laddning som rör sig med en hastighet endast från sidan av magnetfältet , ofta hela kraften - från sidan av det elektromagnetiska fältet i allmänhet [4] , med andra ord, från sidan av de elektriska och magnetiska fälten. I International System of Units (SI) uttrycks det som [5] [2] : $\mathbf{v}$ $q\$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

${\vec {\mathbf {F} }}=q\left({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B} }}]\höger).$

Den elektromagnetiska kraften som verkar på en laddning q är en kombination av en kraft som verkar i det elektriska fältets riktning , som är proportionell mot fältets storlek och mängden laddning, och en kraft som verkar i rät vinkel mot magnetfältet och hastighet , som är proportionell mot storleken på magnetfältet, laddningen och hastigheten. Variationer på denna grundläggande formel beskriver den magnetiska kraften på en strömförande ledare (ibland kallad Laplacekraften), den elektromotoriska kraften i en trådslinga som rör sig genom ett område med ett magnetfält ( Faradays induktionslag ) och kraften på rörliga laddade partiklar. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{v}$

Vetenskapshistoriker antyder att denna lag antyddes i en artikel av James Clerk Maxwell , publicerad 1865 [6] . Hendrik Lorenz gav en fullständig härledning av denna formel 1895 [7] , efter att ha bestämt bidraget från den elektriska kraften några år efter att Oliver Heaviside korrekt identifierade bidraget från den magnetiska kraften [8] [9] .

För Lorentzkraften, såväl som för tröghetskrafterna , gäller inte Newtons tredje lag (detta är sant endast om magneten som skapar fältet inte betraktas som en del av systemet). Endast genom att omformulera denna Newtons lag som lagen om bevarande av momentum i ett slutet system av partiklar och ett elektromagnetiskt fält, är det möjligt att återställa dess giltighet för Lorentzkrafterna [10] .

En fullständig härledning av ett sådant påstående kräver en definition av begreppet "fältmomentum", och kanske det enda sättet att göra detta är Emma Noethers teorem (och det närbesläktade begreppet energimomentumtensor) i klassisk (icke-kvantum) ) fältteori i den lagrangska formalismen. Den karakteristiska impulsen för fältet/vågen ("ljustrycket") är dock c gånger mindre än dess karakteristiska energi, där c är ljusets hastighet, och i många verkliga, tekniska tillämpningar är en försvinnande liten kvantitet. Vad betyder giltigheten av ZSI för endast ett laddat ämne, och i sin tur, om ämnet består av endast 2 väsentliga punkter - giltigheten av Newtons tredje lag (den motsvarar ZSI för ett slutet system, vilket är en ett par materialpunkter/kroppar).

Lorentz-kraften som en definition av E och B

Många läroböcker om elektromagnetism använder Lorentz-kraften som en definition av de elektriska och magnetiska fälten E och B [11] [12] [13] . I synnerhet förstås Lorentz-kraften som följande empiriska uttalande:

Den elektromagnetiska kraften F , som verkar på testladdningen vid en given tidpunkt och tidpunkt, är en bestämd funktion av dess laddning q och hastighet v , som kan parametriseras av exakt två vektorer E och B i funktionell form :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Detta uttryck är också sant för fallet med en partikel som rör sig med en hastighet nära ljusets hastighet ( v = | v | ≈ c ). [14] Således är två vektorfält E och B definierade i all tid och rum, och de kallas "elektriskt fält" och "magnetfält". Fält definieras i hela rummet och tiden med avseende på kraften som upplevs av en testladdning placerad i ett elektromagnetiskt fält.

Som en definition av E och B är Lorentzkraften endast en definition i princip, eftersom en verklig partikel (i motsats till en hypotetisk testkropp med oändlig massa och laddning) kommer att skapa sina egna ändliga fält E och B , vilket förändrar den elektromagnetiska kraften det upplever. Dessutom rör sig en laddning i ett magnetfält vanligtvis längs en krökt bana, det vill säga med acceleration - vilket innebär att den avger strålning och förlorar rörelseenergi (se t.ex. artiklarna bremsstrahlung eller synkrotronstrålning ). Dessa effekter uppstår på grund av både direkt verkan (den så kallade strålningsreaktionskraften ) och indirekt (genom att påverka rörelsen av närliggande laddningar och strömmar).

Ekvation

Laddad partikel

Kraft F som verkar på en partikel med elektrisk laddning q och momentan hastighet v på grund av externt elektriskt fält E och magnetfält B ges av (i SI-enheter ): [15]

${\vec {\mathbf {F} }}=q({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B } }}])$

där x -tecknet anger korsprodukten (alla kvantiteter i fet stil är vektorer). I kartesiska komponenter

F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),

F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),

F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).

Generellt sett beror elektriska och magnetiska fält på koordinater och tid. Därför kan Lorentz-kraften i explicit form skrivas som

\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r)) ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} , t)+\mathbf {\dot {r)) \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]

där r är positionsvektorn för den laddade partikeln, t är tiden och punkten anger tidsderivatan.

En positivt laddad partikel kommer att accelerera i samma riktning som fältet E , men dess bana kommer att krökas vinkelrätt mot både den momentana hastighetsvektorn v och fältet B i enlighet med gimletregeln (om högerhands fingrar sträcks ut så att att peka i riktning mot v , och sedan krökt så att den pekar i riktning B , då skulle den utsträckta tummen peka i riktning F ).

Termen q E kallas den elektriska kraften , och termen q ( v × B ) kallas den magnetiska kraften [16] . Enligt vissa definitioner syftar termen "Lorentz-kraft" specifikt på formeln för den magnetiska kraften [17] medan formeln med den totala elektromagnetiska kraften (inklusive den elektriska kraften) ges ett annat namn. I det följande kommer termen "Lorentz-kraft" att hänvisa till uttrycket för den totala kraften.

Lorentzkraftens magnetiska komponent manifesterar sig som en kraft som verkar på en strömförande ledare placerad i ett magnetfält. I detta sammanhang kallas denna kraft även för Laplace-kraften.

Lorentzkraften är kraften som utövas av ett elektromagnetiskt fält på en laddad partikel, eller. med andra ord, hastigheten med vilken en linjär rörelsemängd överförs från ett elektromagnetiskt fält till en partikel. Associerad med det är kraft, vilket är den hastighet med vilken energi överförs från det elektromagnetiska fältet till partikeln:

\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}

Magnetfältet fungerar inte eftersom den magnetiska kraften alltid är vinkelrät mot partikelns hastighet.

Kontinuerlig laddningsfördelning

För en kontinuerlig laddningsfördelning i rörelse tar ekvationen för Lorentzkraften differentialformen

\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

var är kraften som verkar på ett element med liten volym med en laddning . Om båda delarna av denna ekvation divideras med volymen av detta lilla fragment av laddningsfördelningen så får vi uttrycket $\mathrm {d} \mathbf {F}$ $\mathrm {d} q$ ${\mathrm {d}}V$

\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

var är kraftdensiteten (kraft per volymenhet) och är laddningstätheten (laddning per volymenhet). Vidare är den strömtäthet som motsvarar laddningens rörelse lika med ${\mathbf {f}}$ $\rho$

\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!

så att den kontinuerliga analogen av ekvationen för Lorentzkraften är uttrycket [18]

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!$

Den fulla kraften kan uppnås genom att beräkna volymintegralen över laddningsfördelningen:

\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V\,\!

Genom att eliminera och använda Maxwells ekvationer med hjälp av vektorkalkylsatser kan denna form av ekvationen användas för att härleda Maxwells spänningstensor och kombinera med Poynting-vektorn för att erhålla energimomentumtensorn T för det elektromagnetiska fältet som används i allmänhet relativitet [18] . $\rho$ ${\mathbf {J}}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

I termer av och kan Lorentz-kraften (per volymenhet) skrivas som [18] ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\ partiell t}}\,\!

där är ljusets hastighet, ∇ · betecknar divergensen av tensorfältet . Denna ekvation relaterar inte mängden laddning och dess hastighet i elektriska och magnetiska fält, utan energiflödet ( energiflöde per tidsenhet per enhet avstånd) i fälten med kraften som verkar på laddningsfördelningen. $c$

Den effekttäthet som är associerad med Lorentz-kraften i det materiella mediet är lika med

\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

Om vi delar upp den totala laddningen och den totala strömmen i deras fria och bundna delar, visar det sig att densiteten för Lorentzkraften är lika med

\mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t)))\times \mathbf {B}

var är den fria laddningstätheten; - polarisering ; är den nuvarande tätheten av gratis avgifter; och är magnetiseringen. Således kan Lorentz-kraften förklara vridmomentet som appliceras på en permanentmagnet på grund av ett externt magnetfält. ${\displaystyle \rho _{f))$ ${\mathbf {P}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f))$ $\mathbf {M}$

Ekvation i CGS-enheter

Ovanstående formler använder SI-enheter, som är de vanligaste bland experimenterare, tekniker och ingenjörer. I CGS-systemet, som är vanligare bland teoretiska fysiker, kommer Lorentz-kraften att ta formen

\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c))\ gånger \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right)

där c är ljusets hastighet . Även om denna ekvation ser något annorlunda ut, är den helt ekvivalent, eftersom de nya storheterna är relaterade i två enhetssystem genom relationerna

q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0)))),\quad \mathbf {E} _ {\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0))}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0))}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} )),\quad c={\frac {1}{ \sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

där ε 0 är vakuumets permittivitet och μ 0 är vakuumets magnetiska permeabilitet . I praktiken utelämnas alltid suffixen "cgs" och "SI" och enhetssystemet bör framgå av sammanhanget.

Specialfall

I ett enhetligt magnetfält riktat vinkelrätt mot hastighetsvektorn, under inverkan av Lorentzkraften, kommer en laddad partikel att röra sig likformigt längs en cirkel med konstant radie (även kallad gyroradius). Lorentzkraften i detta fall är en centripetalkraft: $r$

GHS	SI
${mv^{2} \over r}={\|q\| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over \|q\|}\cdot {v \over B}$	${\displaystyle {mv^{2} \over r}=\|q\|vB\Högerpil r={m \over \|q\|}\cdot {v \over B))$

Lorentzkraftens arbete kommer att vara noll, eftersom kraft- och hastighetsvektorerna alltid är ortogonala. Vid en hastighet som är mycket lägre än ljusets hastighet beror den cirkulära frekvensen inte på : $v\$ $\omega\$ $v\$

GHS	SI
${\displaystyle \omega ={\|q\|B \over mc))$	$\omega ={\|q\|B \over m}$

Om en laddad partikel rör sig i ett magnetfält på ett sådant sätt att hastighetsvektorn bildar en vinkel med den magnetiska induktionsvektorn , så är partikelns bana en helix med en radie och en skruvstigning : $v\$ $\mathbf {B}$ $\alfa\$ $r\$ $h\$

GHS	SI
${\displaystyle r={mc \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {mc \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$	${\displaystyle r={m \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {m \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$

Historik

De första försöken att kvantifiera den elektromagnetiska kraften gjordes i mitten av 1700-talet. Det antogs av Johann Tobias Mayer och andra 1760 [19] att kraften vid de magnetiska polerna, som elektriskt laddade föremål, som fastställdes av Henry Cavendish 1762 [20] , lyder den omvända kvadratlagen . Men i båda fallen var det experimentella beviset varken fullständigt eller avgörande. Det var inte förrän 1784 som Charles-Augustin de Coulomb , med hjälp av en torsionsbalans , kunde definitivt experimentellt visa att detta var sant. [21] Strax efter upptäckten 1820 av Hans Christian Oersted av det faktum att en elektrisk ström verkar på en magnetisk nål, kunde André-Marie Ampère samma år experimentellt få fram en formel för vinkelberoendet av kraften mellan två nuvarande element. [22] [23] I alla dessa beskrivningar har kraft alltid beskrivits i termer av materiens egenskaper och avstånden mellan två massor eller laddningar, snarare än i termer av elektriska och magnetiska fält. [24]

Det moderna konceptet med elektriska och magnetiska fält uppstod först i Michael Faradays teorier , särskilt framgångsrik var hans idé om kraftlinjer, som senare fick en komplett matematisk beskrivning av Lord Kelvin och James Clerk Maxwell . [25] Ur en modern synvinkel, i Maxwells 1865-formulering av hans ekvationer för det elektromagnetiska fältet, kan man få en ekvation för Lorentz-kraften i förhållande till elektriska strömmar [6] , även om det på Maxwells tid inte var uppenbart hur hans ekvationer relaterade till krafter i förskjutningsladdade föremål. J. J. Thomson var den första som försökte härleda från Maxwells fältekvationer de elektromagnetiska krafter som verkar på ett rörligt laddat föremål i termer av objektets egenskaper och yttre fält. Intresserad av beteendet hos laddade partiklar i katodstrålar publicerade Thomson en artikel 1881 där han definierade kraften som verkar på partiklar på grund av ett externt magnetfält som [8]

\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Thomson härledde den korrekta grundformen av formeln, men på grund av vissa fel och en ofullständig beskrivning av förspänningsströmmen inkluderade han en felaktig skalningsfaktor på hälften före formeln. Oliver Heaviside uppfann modern vektornotation och skrev om Maxwells fältekvationer i deras termer; han korrigerade också (1885 och 1889) fel i Thomsons härledning och kom fram till den korrekta formen för den magnetiska kraft som verkar på en laddad partikel i rörelse. [8] [25] [26] Slutligen, 1895 [7] [27] kom Hendrik Lorentz på en modern formel för den elektromagnetiska kraften, som inkluderade bidrag från både elektriska och magnetiska fält. Lorentz övergav till en början Maxwells beskrivning av etern och ledning. Istället pekade Lorentz på skillnaderna mellan materia och den lysande etern och skrev ner Maxwells ekvationer i mikroskopisk skala. Med hjälp av en fast eterversion av Maxwell Heavisides ekvationer och med lagrangemekanik (se nedan), kom Lorentz fram till den korrekta och kompletta formen av lagen för den elektromagnetiska kraft som nu bär hans namn. [25] [28]

Banor för partiklar under inverkan av Lorentz-kraften

I många fall av praktiskt intresse kan rörelsen i ett magnetfält hos en elektriskt laddad partikel (till exempel en elektron eller en jon i ett plasma ) betraktas som en överlagring av relativt snabb cirkulär rörelse runt en punkt som driver i en riktning vinkelrätt mot de elektriska och magnetiska fälten. Drifthastigheter kan variera beroende på deras laddningstillstånd, massa eller temperatur, vilket kan leda till elektriska strömmar eller kemisk separation.

Betydelsen av Lorentz-styrkan

Medan de moderna Maxwell-ekvationerna beskriver hur elektriskt laddade partiklar och strömmar eller rörliga laddade partiklar inducerar elektriska och magnetiska fält, kompletterar Lorentzkraften denna bild genom att beskriva kraften som verkar på en rörlig punktladdning q i närvaro av elektromagnetiska fält. [15] [29] Även om Lorentzkraften beskriver verkan av E och B på en punktladdning, är sådana elektromagnetiska krafter inte hela bilden. Laddade partiklar kan vara relaterade till andra krafter, särskilt gravitation och kärnkrafter. Maxwells ekvationer är alltså inte separerade från andra fysiska lagar, utan är relaterade till dem genom laddning och strömtätheter. En punktladdnings reaktion på Lorentz lag är en aspekt; genereringen av E och B genom strömmar och laddningar är en annan.

I verkliga material beskriver Lorentz-kraften inte tillräckligt det kollektiva beteendet hos laddade partiklar, både i princip och i termer av beräkningar. Laddade partiklar i materialmediet reagerar inte bara på fälten E och B, utan skapar även dessa fält själva. För att bestämma den temporala och rumsliga reaktionen av laddningar är det nödvändigt att lösa komplexa transportekvationer, till exempel Boltzmann-ekvationen, Fokker-Planck- ekvationen eller Navier-Stokes-ekvationerna . Se till exempel Magnetohydrodynamik , vätskedynamik , elektrohydrodynamik , supraledning , stjärnutveckling . En hel fysisk apparat har utvecklats för att lösa dessa problem. Se till exempel Greens–Kubo- formler och Greens funktion (mångakroppsteori).

Tvinga på en strömförande tråd

När en tråd som bär en elektrisk ström placeras i ett magnetfält, upplever var och en av de rörliga laddningarna som utgör strömmen en Lorentzkraft, och tillsammans kan de skapa en makroskopisk kraft på tråden (kallas ibland Laplacekraften ). Genom att kombinera ovanstående Lorentz lag med definitionen av elektrisk ström, i fallet med en rak fast tråd, erhålls följande ekvation: [30]

\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

där ℓ är en vektor, vars storlek är lika med längden på tråden, och riktningen är längs tråden, kombinerat med riktningen för den vanliga strömmen I.

Om tråden inte är rak, utan böjd, så beräknas kraften som verkar på den genom att tillämpa denna formel på varje oändligt liten trådbit d ℓ och sedan addera alla dessa krafter genom integration . Formellt är den resulterande kraften som verkar på en fast stel tråd genom vilken en likström I flyter lika med

\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

Detta är full styrka. Dessutom uppstår vanligtvis vridmoment och andra effekter om tråden inte är helt stel.

En tillämpning av detta är Ampères kraftlag , som beskriver hur två strömförande ledningar attraherar eller stöter bort varandra, beroende på strömriktningen, eftersom de var och en upplever en Lorentzkraft från magnetfältet som skapas av den andra strömmen.

EMF

Den magnetiska kraften ( q v × B ) i uttrycket för Lorentz-kraften är ansvarig för den motoriska elektromotoriska kraften (eller drivkraften EMF ), ett fenomen som ligger till grund för driften av många elektriska generatorer. När en ledare rör sig genom ett område med magnetfält utövar magnetfältet motsatta krafter på elektronerna och kärnorna i tråden, och detta skapar en EMF. Termen "motor-EMK" används för detta fenomen eftersom EMF beror på trådens rörelse .

I andra elektriska generatorer rör sig magneterna, men det gör inte ledarna. I detta fall beror EMF på den elektriska kraften (q E ) i ekvationen för Lorentz-kraften. Det elektriska fältet i fråga skapas av ett förändrat magnetfält, vilket resulterar i en inducerad emk, som beskrivs av Maxwell-Faradays ekvation . [31]

Båda dessa elektromagnetiska fält, trots deras klart olika ursprung, beskrivs av samma ekvation, nämligen EMF är förändringshastigheten för det magnetiska flödet genom tråden. Detta är Faradays lag för elektromagnetisk induktion, se nedan. Einsteins speciella relativitetsteori motiverades delvis av en önskan att bättre förstå detta samband mellan de två effekterna. [31] Faktum är att de elektriska och magnetiska fälten är olika aspekter av ett enda elektromagnetiskt fält (olika element i en enda matris av fältstyrketensor Fij), och när de flyttas från en tröghetsreferensram till en annan (dvs. operationen att ändra basen till matrisen Fij), kan en del av det elektromagnetiska vektorfältet E helt eller delvis ersättas med B eller vice versa . [32]

Lorentz kraft och Faradays induktionslag

För en trådslinga i ett magnetfält , säger Faradays induktionslag att den inducerade elektromotoriska kraften (EMF) i tråden är:

{\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}

var

\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

- magnetiskt flöde genom slingan, B - magnetfält, Σ ( t ) - yta avgränsad av en sluten kontur ∂Σ ( t ), vid tidpunkten t , d A - ett oändligt litet element i areavektorn Σ ( t ) (värdet är området av oändligt ett litet område av ytan, vektorns riktning är ortogonal mot detta område av ytan).

EMF:s tecken bestäms av Lenz lag . Detta gäller inte bara för en stationär tråd, utan också för en rörlig tråd.

Från Faradays lag om elektromagnetisk induktion och Maxwells ekvationer kan man få Lorentz-kraften. Det omvända är också sant: Lorentz-kraften och Maxwells ekvationer kan användas för att härleda Faradays lag .

Låt Σ ( t ) vara en translationstråd med konstant hastighet v, och Σ ( t ) vara den inre ytan av tråden. EMF runt en sluten bana ∂Σ ( t ) bestäms av uttrycket [33]

{\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q

var

\mathbf {E} =\mathbf {F} /q

är det elektriska fältet, och d ℓ är ett infinitesimalt vektorelement av konturen ∂Σ ( t ).

Riktningen d ℓ och d A är tvetydig. För att få rätt tecken används högerhandsregeln , som beskrivs i artikeln The Kelvin-Stokes Theorem.

Resultatet ovan kan jämföras med Faradays lag om elektromagnetisk induktion som förekommer i moderna Maxwells ekvationer, här kallad Maxwell-Faradays ekvation :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\ .

Maxwell–Faraday-ekvationen kan skrivas i integralform med hjälp av Kelvin–Stokes-satsen. [34]

Maxwell-Faradays ekvation tar formen

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm { d}t}

och Faradays lag

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{ \frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r } ,\t).

Dessa två uttryck är likvärdiga om tråden inte rör sig. Med hjälp av Leibniz integralregel och div B = 0 kan man få,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))

och med Maxwell Faradays ekvation,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma ( t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

eftersom detta är sant för vilken position som helst av tråden, alltså

\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} , \t).

Faradays induktionslag är giltig oavsett om trådslingan är stel och stationär, eller den är i rörelse eller håller på att deformeras, och även oavsett om magnetfältet är konstant i tid eller förändras. Men det finns tillfällen då Faradays lag antingen är otillräcklig eller svår att använda och Lorentz lag måste tillämpas.

Om magnetfältet är oberoende av tid och den ledande slingan rör sig genom fältet, kan det magnetiska flödet ΦB som kommer in i slingan ändras på flera sätt. Till exempel, om magnetfältet ändras beroende på positionen och slingan flyttas till en annan position med ett annat värde på B , kommer - Φ B att ändras. Alternativt, om slingan ändrar orientering med avseende på B , kommer differentialelementet B ⋅ d A att ändras på grund av den olika vinkeln mellan B och d A, och F B kommer också att ändras. Som ett tredje exempel, om en del av en elektrisk krets passerar genom ett homogent, ett tidsoberoende magnetfält, och den andra delen av kretsen förblir stationär, då kan det magnetiska flödet som ansluter hela den slutna kretsen ändras på grund av den relativa förskjutningen av positionen för de ingående delarna av kretsen över tid (yta ∂Σ ( t ), beroende på tid) . I alla tre fallen förutsäger Faradays induktionslag uppkomsten av en emk som genereras av en förändring i Φ B .

Det följer av Maxwell-Faradays ekvation att om magnetfältet B ändras med tiden, så är det elektriska fältet E icke-konservativt och kan inte uttryckas som en skalär fältgradient , eftersom dess krullning inte är noll. [35] [36]

Lorentz kraft i termer av potentialer

Fälten E och B kan ersättas av vektormagnetisk potential A och den ( skalära ) elektrostatiska potentialen ϕ via

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

där ∇ är gradienten, ∇⋅ är divergensen, ∇ × är krullen .

Kraften kommer att skrivas som

\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].

Med hjälp av identiteten för trippelprodukten kan detta uttryck skrivas om som,

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],$

Här ska koordinaterna och hastighetskomponenterna behandlas som oberoende variabler, så nabla-operatorn agerar bara på och inte på ; sålunda finns det inget behov av att använda Feynman-indexnotationen i ovanstående ekvation. Med hjälp av kedjeregeln är den totala derivatan av : $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}

så ovanstående uttryck blir

\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{ \mathrm {d} t}}\right]

För v = ẋ kan ekvationen skrivas om i den bekväma Euler-Lagrange-formen

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

där notationen

$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{ \partial y))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial z))$

och

$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y )){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y))))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z))))$ .

Lorentz-kraften och analytisk mekanik

Lagrangian för en laddad partikel med massa m och laddning q i ett elektromagnetiskt fält beskriver partikelns dynamik i termer av dess energi , snarare än kraften som verkar på den. Det klassiska uttrycket ges enligt följande: [37]

L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot { r}} -q\phi

där A och ϕ är potentiella fält, som indikerat ovan. Kvantiteten kan betraktas som en potentiell funktion beroende på hastigheten. [38] Med hjälp av Lagranges ekvationer kan man återigen få ekvationen för Lorentzkraften som ges ovan. $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)))$

Potentiell energi beror på partikelns hastighet, så kraften beror på hastigheten och följaktligen är den inte konservativ.

Relativistisk lagrangian

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r}}}{c}}\right)^{2}}}+q\ mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!

Handlingen är den relativistiska väglängden för partikeln i rum-tid , minus det potentiella energibidraget, plus ett ytterligare bidrag, vilket kvantmekaniskt är den extra fas som en laddad partikel får när den rör sig längs en vektorpotential.

Relativistisk form av Lorentz-kraften

Kovariant form av Lorentz-kraften.

Fälttensor

Med hjälp av den metriska signaturen (1, −1, −1, −1) , kan Lorentz-kraften för laddningen q skrivas i [39] i kovariant form :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

där p α är det fyrdimensionella momentum , definierat som

p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{ y},p_{z}\right)\,,

τ är den korrekta tiden för partikeln, F αβ är den motsatta tensorn för det elektromagnetiska fältet

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

och U är den kovarianta 4-hastigheten för partikeln, definierad som:

U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_ {y},-v_{z}\right)\,,

var är Lorentz-faktorn

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{ \sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}

Fälten omvandlas till ett system som rör sig i förhållande till det stationära systemet med konstant hastighet med hjälp av:

F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu}}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu}}_{\beta }F^{\alpha \beta }\ ,,

där Λ μ α är Lorentz transformation tensor .

Översättning till vektornotation

α = 1 komponent ( x -komponent ) av kraften är

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0} F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\höger).

Genom att ersätta komponenterna i den kovarianta tensorn för det elektromagnetiska fältet F får vi

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{ c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].

Använda komponenterna i de kovarianta fyra hastigheterna

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac { E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\ gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf { v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}

Beräkningen för α = 2 , 3 (komponenter av kraften i y- och z-riktningarna ) leder till liknande resultat, så att kombinera de 3 ekvationerna till en:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {Ljus)\,,

och eftersom skillnaderna i koordinattid dt och riktig tid dτ är relaterade av Lorentz-faktorn,

dt=\gamma (v)d\tau \,,

Äntligen kan du skriva

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \höger)\,.

Detta är exakt Lorentz lag, men p är ett relativistiskt uttryck,

\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.

Lorentz kraft i rum-tid algebra (STA)

[ kolla översättningen ! ] Elektriska och magnetiska fält beror på observatörens hastighet, så den relativistiska formen av Lorentz lag kan bäst demonstreras från ett koordinatoberoende uttryck för elektromagnetiska och magnetiska fält. , och en godtycklig tidsriktning, . Med hjälp av rum-tids-algebra (eller geometrisk rum-tids-algebra), som Clifford-algebra definierad i det pseudo-euklidiska rummet [40] , skriver vi ${\mathcal {F}}$ $\gamma _{0}$

\mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}

och

i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}

${\mathcal {F}}$ är en rum-tid bivector (ett orienterat platt segment, i analogi med en vektor, som är ett orienterat linjesegment) som har sex frihetsgrader motsvarande förstärkningar (rotationer i rum-tid-planen) och rotationer (rotationer i rymden) -rymdplan). Punktprodukten med en vektor drar en vektor (i rumslig algebra) från translationsdelen, medan den yttre produkten skapar en trivektor (i rumslig algebra) som är dubbel mot vektorn, vilket är den vanliga magnetfältsvektorn. Den relativistiska hastigheten ges av (tidsliknande) förändringar i tidskoordinatvektorn , där $\gamma _{0}$ $v={\dot {x}}$

v^{2}=1,

(vilket visar vårt val av mått), och hastigheten är

\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).

Korrekt (invariant är en otillräcklig term eftersom ingen transformation har definierats) form av Lorentz lag

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Här är ordningen viktig eftersom mellan en bivector och en vektor är punktprodukten antisymmetrisk. Med denna uppdelning av rum-tid kan man erhålla hastigheten och fälten, som anges ovan, vilket ger det vanliga uttrycket.

Lorentzkraften i allmän relativitet

I den allmänna relativitetsteorin ges rörelseekvationen för en partikel med massa och laddning som rör sig i rymden med en metrisk tensor och ett elektromagnetiskt fält som $m$ $e$ $pladdra}}$ ${\displaystyle F_{ab))$

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb} u^{b}\;,

där ( tas längs banan), , och . $u^{a}=dx^{a}/ds$ ${\displaystyle dx^{a))$ $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b))$

Ekvationen kan också skrivas som

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

var finns Christoffel-symbolerna (torsionsfri metrisk koppling i allmän relativitet), eller som ${\displaystyle \Gamma _{abc))$

m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,

var är den kovarianta differentialen i allmän relativitet (metrisk, torsionsfri). $D$

Applikationer

Lorentz-kraften finns i många enheter, inklusive:

Den huvudsakliga tillämpningen av Lorentz-kraften (mer exakt, dess specialfall - Ampère-kraften ) är elektriska maskiner (elektriska motorer och generatorer). Lorentzkraften används ofta i elektroniska instrument för att verka på laddade partiklar ( elektroner och ibland joner ), såsom i TV- katodstrålerör , såväl som i masspektrometri och MHD-generatorer .
Lorentzkraften används också i partikelacceleratorer : den bestämmer den bana längs vilken dessa partiklar rör sig.
Lorentz-styrkan används i railgun .
Lorentz hastighetsmätning är en beröringsfri mätning av hastigheten hos en ledande vätska.
Cyklotroner och andra cirkulära partikelacceleratorer
Masspektrometrar
Hastighetsfilter
Magnetroner

Se även

Strålningsfriktion

Anteckningar

↑ Afanasiev, G. N. Gamla och nya problem i teorin om Aharonov-Bohm-effekten // Elementarpartiklars fysik och atomkärnan. - 1990. - T. 21 . - S. 172-250 . Arkiverad från originalet den 12 februari 2022.
↑ 1 2 Lorentz styrka / V. S. Bulygin // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ M. A. Miller, E. V. Suvorov. Lorentz kraft // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ En sådan dualitet i användningen av termen "Lorentz-kraft" beror uppenbarligen på historiska skäl: faktum är att kraften som verkar på en punktladdning från endast det elektriska fältet var känd långt innan Lorentz - Coulombs lag upptäcktes 1785. Lorentz å sin sida fick en generell formel för verkan av både elektriska och magnetiska fält, som skiljer sig från den föregående bara i uttrycket för magnetfältet. Därför kallas båda, helt logiskt, vid hans namn.
↑ H -fältet mäts i ampere per meter (A/m) i SI-enheter och i oersted (Er) i CGS-enheter. Internationellt enhetssystem (SI) . NIST-referens om konstanter, enheter och osäkerhet . National Institute of Standards and Technology. Hämtad 9 maj 2012. Arkiverad från originalet 31 december 2016. (obestämd)
↑ 1 2 Huray, Paul G. Maxwells ekvationer . - Wiley-IEEE, 2010. - P. 22. - ISBN 978-0-470-54276-7 . Arkiverad 21 november 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of JJ Thomson's Electron , CRC Press, 1997, sid. tio.
↑ 1 2 3 Paul J. Nahin, Oliver Heaviside Arkiverad 3 april 2021 på Wayback Machine , JHU Press, 2002.
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - Moskva: Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 sid. Arkiverad 14 mars 2022 på Wayback Machine
↑ Matveev A. N. Mekanik och relativitetsteorin. - 3:e uppl. - M. Högre skola 1976. - S. 132.
↑ Se till exempel Jackson, s. 777-8.
↑ JA Wheeler. Gravity . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 . . Dessa författare använder Lorentz-kraften i tensorform som definierare av den elektromagnetiska tensorn F , i sin tur fälten E och B.
↑ ÄR anslag. elektromagnetism. - John Wiley & Sons, 1990. - S. 122. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ ÄR anslag. elektromagnetism. - John Wiley & Sons, 1990. - P. 123. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ 1 2 Se Jackson, sidan 2. Boken listar de fyra moderna Maxwells ekvationer och sägs sedan: "Också väsentligt för övervägande av laddad partikelrörelse är Lorentz kraftekvation, F = q ( E + v × B ), som ger kraften som verkar på en punktladdning q i närvaro av elektromagnetiska fält."
↑ Se Griffiths, sidan 204.
↑ Se till exempel webbplatsen för Lorentz Institute Arkiverad 17 december 2021 på Wayback Machine eller Griffiths.
↑ 1 2 3 Griffiths, David J. Introduktion till elektrodynamik . — 3:a. - Upper Saddle River, New Jersey [ua] : Prentice Hall, 1999. - ISBN 978-0-13-805326-0 .
↑ Delon, Michel. Upplysningens uppslagsverk . - Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. - S. 538 . — ISBN 157958246X .
↑ Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History Volym 8: De amerikanska och franska revolutionerna, 1763–93. - Cambridge University Press, 1965. - S. 130. - ISBN 9780521045469 .
↑ Meyer, Herbert W. En historia av elektricitet och magnetism. - Burndy Library, 1972. - S. 30-31. — ISBN 0-262-13070-X .
↑ Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction: Magnetismens historia och mysterium. — Oxford University Press, 1993. — S. 78–79 . — ISBN 0-19-506488-7 .
↑ Darrigol Olivier. Elektrodynamik från Ampere till Einstein. - Oxford University Press, 2000. - P. 9 , 25. - ISBN 0-19-850593-0 .
↑ Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction: Magnetismens historia och mysterium . - Oxford University Press, 1993. - ISBN 0-19-506488-7 .
↑ 1 2 3 Darrigol, 2000 , sid. 126–131 , 139–144.
↑ Heaviside, Oliver (april 1889). "Om de elektromagnetiska effekterna på grund av elektrifieringsrörelsen genom ett dielektrikum" . Filosofisk tidskrift . Arkiverad från originalet 2021-02-21 . Hämtad 2021-03-15 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
↑ Whittaker E.T. En historia om teorierna om eter och elektricitet: Från Descartes tidsålder till slutet av det nittonde århundradet . - Longmans, Green och Co., 1910. - S. 420-423. — ISBN 1-143-01208-9 .
↑ Se Griffiths, sidan 326, som säger att Maxwells ekvationer, "tillsammans med [Lorentz] kraftlagen ... sammanfattar hela det teoretiska innehållet i klassisk elektrodynamik".
↑ Fysikexperiment . _ www.physicsexperiment.co.uk . Hämtad 14 augusti 2018. Arkiverad från originalet 8 juli 2018.
↑ 1 2 Se Griffiths, sidorna 301-3.
↑ Tai L. Chow. Elektromagnetisk teori . - Sudbury MA : Jones och Bartlett, 2006. - S. 395. - ISBN 0-7637-3827-1 . Arkiverad 3 april 2021 på Wayback Machine
↑ Landau, LD, Lifshitz, EM, & Pitaevskiĭ, LP Elektrodynamik för kontinuerliga medier; Volym 8 Kurs i teoretisk fysik . — För det andra. - Oxford : Butterworth-Heinemann, 1984. - P. §63 (§49 s. 205–207 i 1960 års upplaga). - ISBN 0-7506-2634-8 .
↑ Roger F. Harrington. Introduktion till elektromagnetisk teknik . - Mineola, New York: Dover Publications, 2003. - P. 56. - ISBN 0-486-43241-6 . Arkiverad 3 april 2021 på Wayback Machine
↑ MNO Sadiku. Element av elektromagnetik . — Fjärde. — NY/Oxford: Oxford University Press, 2007. — S. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2 . Arkiverad 3 april 2021 på Wayback Machine
↑ Landau, 1984 , sid. §63.
↑ Classical Mechanics (2nd Edition), TWB Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
↑ Lanczos, Cornelius, 1893-1974. Mekanikens variationsprinciper. — Fjärde. - New York, januari 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
↑ Jackson, JD, kapitel 11
↑ Hestenes. Rumstidskalkyl . Hämtad 15 mars 2021. Arkiverad från originalet 09 maj 2021. (obestämd)

Litteratur

Feynman, Richard Phillips. The Feynman föreläsningar om fysik (3 vol.) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. - Pearson / Addison-Wesley, 2006. - ISBN 0-8053-9047-2 . : volym 2.
Griffiths, David J. Introduktion till elektrodynamik. - Prentice-Hall, 1999. - ISBN 0-13-805326-X .
Jackson, John David. Klassisk elektrodynamik . - Wiley, 1999. - ISBN 0-471-30932-X .
Serway, Raymond A. Fysik för forskare och ingenjörer, med modern fysik / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X .
Srednicki, Mark A. Kvantfältteori. - Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-86449-7 .

Länkar

Bestämma riktningen för Lorentz-kraften. Högerskruvregel på YouTube