Enkelt set

En enkel uppsättning (i tidiga källor - ett semi- enkelt komplex ) är en kategoriteoretisk konstruktion som generaliserar begreppet ett förenklat komplex och, i en viss mening, modellerar begreppet ett topologiskt rum med "bra" egenskaper: homotopin teori för enkla mängder är likvärdig med den klassiska homotopiteorin för topologiska rum. Det är en rent algebraisk konstruktion som ger nästan fullständig parallellitet med geometriska objekt; i detta avseende anses det vara ett av de viktigaste objekten inom algebraisk topologi, både ur metodologisk och instrumentell synvinkel [1] .

Ur kategoriteoretisk synvinkel definieras det som ett förenklat objekt från kategorin mängder , eller, på motsvarande sätt, som ett förband av en förenklad kategori till kategorin mängder.

Definitioner och struktur

En enkel uppsättning är en kontravariant funktion från en enkel kategori till kategorin av uppsättningar : . $X$ $\Delta ^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Set}}$

Eftersom varje morfism av en enkel kategori genereras av morfismer och ( ) definieras som [2] : $\delta _{i}^{n}:[n-1]\till [n]$ $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\till [n]$ $0\leq i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}

sedan kan den förenklade uppsättningen konstrueras som ett system av de skikten som är sammankopplade med motsvarande ( dubbla till och ) mappningar och som uppfyller relationerna: $n$ $X_n$ $\delta$ $\sigma$ $d_{i}^{n}:X_{n}\till X_{{n-1}}$ $s_{i}^{n}:X_{n}\till X_{{n+1}}$

d_{i}^{n}d_{j}^{{n+1}}=d_{{j-1}}^{n}d_{i}^{{n+1}}

, om ,

i<j

{\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1))

, om ,

i\leqslant j

d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i <j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1} d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}

Lagrets punkter kallas dimensionella förenklingar , dessutom kallas skiktets punkter för hörn , och skiktets punkter kallas kanter. Morfismer kallas ansiktsoperatorer och morfismer kallas degenerationsoperatorer . $X_n$ $n$ $X_{0}$ $X_{1}$ $d_{i}^{n}$ $s_{j}^{n}$

En enkel mappning är en (funktions)morfism mellan enkla uppsättningar , en förenklad mappning kan också betraktas som en samling av lager , dessutom innehåller den: $f:X\till X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$

{\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n))

( ),

0\leq i\leq n

s_{i}^{n}f_{n}=f_{{n+1}}s_{i}^{n}

( ).

0\leq i\leq n

En enkel uppsättning kallas en enkel delmängd om alla fibrer i den förenklade kartan är injektiva ; i det här fallet är ansiktsoperatörerna och degenerationsoperatörerna i restriktioner för motsvarande operatörer för . $X$ $X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$ $f:X\till X'$ $X$ $X'$

En enkel faktoruppsättning är en konstruktion som erhålls genom lager-för-lager- faktorisering av en enkel uppsättning, det vill säga en uppsättning lager , dessutom induceras ytoperatorer och degenerationer av faktorlagerlager av motsvarande uppsättningsoperatorer . $X/\sigma$ $X_{n}/\sigma$ $X$

Enkla uppsättningar med alla möjliga förenklade mappningar mellan dem bildar en kategori [3] . ${\mathbf {Set}}^{{\Delta ^{{\mathrm {op}}}}}$

Motivation

Exempel

Egenskaper

Kategorin för enkla uppsättningar tillåter direkta och omvända gränser, som kan beräknas lager för lager. Speciellt för alla enkla uppsättningar och den direkta produkten och den direkta summan (separat förening) definieras dessutom för alla lager: $X$ $X'$ $X\ gånger X'$ $X\oplus X'$

(X\ gånger X')_{n}=X_{n}\ gånger X'_{n}

(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}

Geometrisk realisering

Cosimplicial set

Det dubbla konceptet för en cosimpliciell mängd används också - en funktion från en enkel kategori till kategorin av uppsättningar: . Cosimplicial set har en liknande skiktad struktur med ansikts- och degenerationsoperatorer (dubbla till motsvarande enkla setoperatorer) och bildar kategorin . $\Delta \to {\mathbf {Set}}$ ${\mathbf {Set}}^{\Delta }$

Anteckningar

↑ Gabriel, Tsisman, 1971 , ... Vi menar förekomsten av nästan fullständig parallellism (uttryckt i motsvarigheten av motsvarande kategorier) mellan homotopiteorin om topologiska rum och den analoga teorin om enkla mängder - objekt, i huvudsak rent algebraiska . Teorin om enkla uppsättningar, å ena sidan, är av stor metodologisk betydelse, vilket avsevärt klargör den logiska och konceptuella karaktären av grunderna för algebraisk topologi, och å andra sidan spelar den rollen som ett av de mest kraftfulla verktygen för topologisk forskning ... (från M. M. Postnikovs förord), sid. 5.
↑ Simplicial objekt - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malygin S. N., Postnikov M. M.
↑ Källor från 1970-talet använder beteckningen . Notationen används också $\Delta ^{\circ }{\mathcal E}ns$ ${\mathbf {sSet}}$

Litteratur

Gabriel P., Tsisman M. Kategorier av bråk och homotopi teori = Bråkräkning och Homotopi teori / Översatt från engelska av M. M. Postnikova. — M .: Mir , 1971. — 296 sid.
Simplicial set - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malygin S. N., Postnikov M. M.
McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .