Singular homologi

Singular homologi är en homologiteori där invarians och funktionalitet omedelbart blir uppenbara, men den grundläggande definitionen kräver att man arbetar med oändligt dimensionella rum.

Byggnad

Låt vara vilket topologiskt utrymme som helst . $X$

En singular dimension simplex är ett par där är standard simplex , och är dess kontinuerliga karta till ; . $k$ $(\Delta ^{k},f)$ $\Delta ^{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $f$ $X$ $f:\Delta ^{k}\till X$

Vi definierar gruppen av singulära kedjor som en uppsättning formella linjära kombinationer:

c_{k}=\summa _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})

med heltalskoefficienter (vanligtvis anses de också vara begränsade) .

z_{i}

I det här fallet, för en linjär mappning definierad av en permutation av punkter , antar man . ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k))$ $\pi$ $(a_{0},a_{1},...~a_{k})$ $(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi})$

Gränsoperatorn definieras i singularis simplex enligt följande: $\partiell$ $(\Delta _{k},f)$

\partial (\Delta _{k},f)=\summa _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})

var är den standarddimensionella simplexen, och , var är dess mappning på den th sidan av standardsimplexen . $\Delta _{k-1}$ $(k-1)$ $f_{i}=f\circ\epsilon _{i}$ $\epsilon _{i}$ $i$ $\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i))},...~a_{k}\rangle )$

På samma sätt som enkel homologi bevisar vi att . $\partial \partial =0$

Liksom tidigare introduceras begreppen singulära cykler , det vill säga kedjor sådana att , och gränser , dvs. kedjor för vissa . $c_{k}$ $\partial {c_{k}}=0$ $c_{k}=\partial {c_{k+1}}$ $c_{k+1}$

Faktorgruppen i cykelgruppen över gränsgruppen kallas singular homologigruppen . $H_{k}=Z_{k}/B_{k}$

Exempel

Låt oss till exempel hitta singular homologi av rymden från en punkt . $X=*$

Det finns bara en mappning för varje dimension . $f^{k}:\Delta ^{k}\to *$

Simplexets gräns , där alla är lika, eftersom de mappar simplexet till en punkt (vi betecknar ). $\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\summa (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1 })$ $f_{i}^{k-1}$ $f^{k-1}$