Smale-Williams solenoid

Smale-Williams-solenoiden är ett exempel på ett reversibelt dynamiskt system som liknar banornas beteende som fördubblingskartläggningen på en cirkel. Närmare bestämt definieras detta dynamiska system på den solida torusen , och för en iteration av den fördubblas vinkelkoordinaten; varav den exponentiella divergensen av banor och den kaotiska dynamiken uppstår automatiskt. Den maximala attraktionen i detta system kallas också en solenoid (där namnet faktiskt kommer ifrån): den är arrangerad som en (oräknelig) förening av "trådar" lindade längs en solid torus.

Definition

Solenoidmappningen kallas mappningen

F:S^{1}\times D\to S^{1}\times D

solid torus in i sig, given som

F(\varphi ,z)=(2\varphi ,{\frac {1}{2}}e^{i\varphi }+{\frac {1}{10}}z).

Här betraktas skivan för enkelhets skull som en enda skiva på det komplexa planet: . $D$ ${\displaystyle D=\{|z|\leq 1\))$

Den maximala atttraktorn för denna mappning (liksom hela motsvarande dynamiska system) kallas Smale-Williams solenoid . $A_{max}(F)$

Egenskaper

Magnetavbildningen är hyperbolisk .
Själva solenoiden visar sig vara homeomorf till uppsättningen som erhålls genom att implementera överbyggnadsproceduren över vägmätaren - kartläggningen av tillägget av ett i 2-adiska heltal . $\mathbb{Z } _{2}$
Dynamik på en solenoid tillåter symbolisk kodning : en solenoidpunkt kan (nästan en-till-en) associeras med tvåsidiga oändliga sekvenser av nollor och ettor, och tillämpningen av mappningen kommer att motsvara en vänsterförskjutning av sekvensutrymmet , och en del av sekvensen med positiva index kommer att vara en binär representation av vinkelkoordinaten.

Länkar

Smale-Williams-attraktionen på webbplatsen för Saratov Group of Nolinear Dynamics.

Litteratur

Sinai Ya. G., Vershik A. M., Dobrushin R. L., Dynamic Systems-2, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .