Schema med skillnader mot strömmen

Ett motflödesdifferensschema inom beräkningsfysik är en klass av diskretiseringsmetoder för att lösa ( med explicita scheman ) partiella differentialekvationer av hyperbolisk typ ( hyperboliska ekvationer ).

Till exempel har den endimensionella vågekvationen formen

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t))+a{\frac {\partial u}{\partial x))=0$

Den beskriver utbredningen av en våg i en riktning med en hastighet . En sådan ekvation är också en matematisk modell för endimensionell linjär advektion . Med tanke på en vanlig rutnätspunkt , i det endimensionella fallet finns det bara två möjliga riktningar, vänster och höger. Om den är positiv kallas den vänstra sidan uppströmsriktningen och den högra sidan kallas nedströmsriktningen. (Om negativt, då tvärtom). Om, när man använder ändliga skillnader för den rumsliga derivatan, den innehåller fler punkter på uppströmssidan, kallas schemat ett uppströmsdifferensschema [1] . $x$ $a$ $i$ $a$ $a$ $\partial u/\partial x$

Första beställningen

Det enklaste exemplet, första ordningens exempel: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Kompakt form

Definiera

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

två villkorliga ekvationer (1) och (2) kan skrivas i en:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

En sådan ekvation representerar scheman med skillnader uppströms på ett allmänt sätt. Systemets stabilitet med skillnader uppströms bestäms av Courant-Friedrichs-Levy-kriteriet . [3]

Källor

↑ Fletcher K. Beräkningsmetoder i vätskedynamik . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (ryska)
↑ Patankar, SV Numerisk värmeöverföring och vätskeflöde (ospecificerat) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Numerisk beräkning av inre och yttre flöden . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .