Bruns teorem

Bruns teorem säger att summan av tvillingarnas reciproka ( primtalpar som skiljer sig med endast 2) konvergerar till ett ändligt värde som kallas Bruns konstant , som betecknas B 2 (sekvens A065421 i OEIS ). Bruns teorem bevisades av Viggo Brun 1919, och den har historisk betydelse för siktmetoder .

Asymptotiska gränser för tvillingtal

Konvergensen av summan av reciproka till tvillingtal följer av begränsningen av tätheten av sekvensen av tvillingtal. Låt beteckna antalet primtal för vilka p + 2 också är primtal (dvs. är antalet tvillingar som inte överstiger x ). Då för vi har $\pi _{2}(x)$ $p\leqslant x$ $\pi _{2}(x)$ $x\geqslant 3$

\pi _{2}(x)=O\vänster({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\höger).

Det vill säga tvillingtal är sällsyntare än primtal med nästan en logaritmisk faktor. Det följer av denna begränsning att summan av tvillingarnas reciproka konvergerar, eller, med andra ord, tvillingarna bildar en liten mängd . Explicit belopp

\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left(({\frac {1}{p))+{\frac {1}{p +2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1} {5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+ \cdots

har antingen ett ändligt antal termer, eller har ett oändligt antal termer men konvergerar till ett värde som kallas Brun-konstanten.

Det faktum att summan av reciproka av primtal divergerar innebär att det finns oändligt många primtal. Eftersom summan av de reciproka tvillingtalen konvergerar, är det omöjligt att dra slutsatsen från detta resultat att det finns oändligt många tvillingtal. Brun-konstanten är irrationell endast i fallet med ett oändligt antal tvillingar.

Numeriska poäng

När han beräknade tvillingtal upp till 10 14 (och hittade ett Pentium FDIV-fel längs vägen ), uppskattade Thomas R. Nicely heuristiskt Brun-konstanten till ungefär 1,902160578 [1] . Förlängde fint beräkningen till 1,6⋅10 15 till den 18 januari 2010, men det var inte den största beräkningen av denna typ.

2002 använde Pascal Seba och Patrick Demichel alla tvillingtal upp till 10 16 och fick uppskattningen [2]

B2 ≈ 1,902160583104 .

Uppskattningen är baserad på en uppskattning av summan av 1,830484424658... för tvillingtal mindre än 10 16 . Dominic Clive visade (i ett opublicerat sammandrag) att B 2 < 2,1754 under antagandet att den utökade Riemann-hypotesen [3] är sann .

Det finns också en Bruns konstant för tvillingfyrlingar . En prime quadruplet är ett par av två primtal tvillingar åtskilda med ett avstånd på 4 (minsta möjliga avstånd). Flera fyrlingar - (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Bruns konstant för fyrlingar, betecknad B 4 , är summan av reciproka av alla fyrlingar:

B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13} }\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19} }\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109} }\right)+\cdots

Och detta belopp är

B 4 \u003d 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, felet har en konfidensnivå på 99% (enligt Nicely) [4] .

Denna konstant ska inte förväxlas med Brun-konstanten för besläktade primtal , par av primtal av formen ( p , p + 4), eftersom denna konstant också skrivs som B 4 .

Ytterligare resultat

Låt (sekvens A005597 i OEIS ) vara en konstant av tvillingprimtal . Det finns en hypotes som $C_{2}=0,6601\ldots$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Särskilt,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2))))

för alla tillräckligt stora x . $\varepsilon >0$

Många av de ovan nämnda specialfallen har bevisats. Nyligen visade Jie Wu att för tillräckligt stor x ,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5{\frac {x}{(\log x)^{2))))

där 4,5 motsvarar fallet ovan. $\varepsilon \approx 3.18$

I populärkulturen

Bruns konstanta siffror användes i ett bud på $1 902 160 540 på Nortels patentauktion . Applikationen publicerades av Google och var en av tre Google-applikationer baserade på matematiska konstanter [5] .

Se även

Anteckningar

↑ Snyggt, Thomas R. Uppräkning till 1,6*10^15 av tvillingprimtal och Bruns konstant (länk ej tillgänglig) . Några resultat av beräkningsforskning i primtal (Computational Number Theory) (18 januari 2010). Hämtad 16 februari 2010. Arkiverad från originalet 8 december 2013. (obestämd)
↑ Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier Introduktion till tvillingprimtal och Bruns konstanta beräkning . Hämtad 5 januari 2018. Arkiverad från originalet 6 januari 2018. (obestämd)
↑ Klyve, Dominic Explicita gränser för tvillingprimtal och Bruns konstant . Hämtad 13 maj 2015. Arkiverad från originalet 18 maj 2015. (obestämd)
↑ Snyggt, Thomas R. Uppräkning till 1,6⋅10 15 av de primära fyrlingarna (länk ej tillgänglig) . Några resultat av beräkningsforskning i primtal (Computational Number Theory) (26 augusti 2008). Hämtad 9 mars 2009. Arkiverad från originalet 30 december 2008. (obestämd)
↑ Damouni, Nadia. Dealtalk: Google bud "pi" för Nortel-patent och förlorade (inte tillgänglig länk) . Reuters (1 juli 2011). Hämtad 6 juli 2011. Arkiverad från originalet 3 juli 2011. (obestämd)

Litteratur

Viggo Brown . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. - 1915. - T. B34 , nr. 8 .
Viggo Brown . La serie 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+ ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie (Fr) // Bulletin des Sciences Mathématiques. - 1919. - T. 43 . — S. 100–104, 124–128 .
Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty. En introduktion till siktmetoder och deras tillämpningar. - Cambridge University Press , 2005. - V. 66. - S. 73-74. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 0-521-61275-6 .
Elementare Zahlentheorie. - Leipzig, Tyskland: Hirzel, 1927. Återtryckt i Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., 1990.
William J. LeVeque. Grunderna i talteorin . - New York City: Dover Publishing, 1996. - S. 1-288 . - ISBN 0-486-68906-9 . Innehåller ett modernare bevis.
Wu J. Chens dubbelsikt, Goldbachs gissning och tvillingproblemet // Acta Arithmetica. - 2004. - T. 114 , nr. 3 . — S. 215–273 . - doi : 10.4064/aa114-3-2 . - arXiv : 0705.1652 .
V. I. Zenkin. Fördelning av primtal. Elementära metoder. Kaliningrad, 2008.

Länkar

Weisstein, Eric W. Brun's Constant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Bruns konstant (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .
Sebah, Pascal och Xavier Gourdon, Introduktion till tvillingprimtal och Bruns konstanta beräkning , 2002. En modern detaljerad undersökning.
Wolfs artikel om summor av Brun-typ