Gauss-Lucs sats

För ett godtyckligt polynom med komplexa koefficienter som inte är identiskt konstanta , hör uppsättningen nollor av dess derivata till polynomets konvexa skrov av nollor . $P(z)$ $P'(z)$ $P(z)$

Om bevis

Beviset för satsen är baserat på följande lätt verifierbara påstående: Om alla rötter till polynomet är i halvplanet är olikheten sann i regionen: $P(z)$ ${\rm {Re}}\,z<0$ ${\rm {Re}}\,z\geq 0$

{\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0

av vilket det följer att alla rötter av derivatan också måste vara i halvplanet . ${\rm {Re}}\,z<0$