Dirichlets sats om primtal i aritmetisk progression

Dirichlets sats om primtal i en aritmetisk progression säger att varje oändlig aritmetisk progression , vars första term och skillnaden är coprime naturliga tal , innehåller ett oändligt antal primtal.

Dirichlet bevisade att för alla fasta naturliga samprimtal l och k gäller följande:

Låta vara heltal och . $l,k>0$ $(l,k)=1$

Sedan finns det oändligt många primtal sådana att . $sid$ $p\equiv l{\pmod {k))$

Bevishistoria

Teoremet i denna formulering bevisades av Dirichlet med analytiska medel 1837. Senare hittades bevis för satsen med elementära metoder [1] . Olika sådana bevis har presenterats av Mertens, Selberg och Zassenhaus.

Variationer

När man överväger primtal visar det sig ofta att deras uppsättning har många egenskaper som är inneboende i uppsättningen av alla primtal. Det finns många teorem och hypoteser som endast tar hänsyn till primtal från en viss klass av rester eller förhållanden av uppsättningar av primtal från olika klasser av rester. $p\equiv l{\pmod {k))$

Till exempel, förutom huvudsatsen i satsen, bevisade Dirichlet 1839 att för alla fasta naturliga coprimtal och : $l$ $k$

\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s)))){\ln {\dfrac {1}{ s-1))))={\frac {1}{\varphi (k)))),

där summeringen utförs över alla primtal med villkoret , och är Euler-funktionen . $sid$ $p\equiv l{\pmod {k))$ $\varphi$

Detta förhållande kan tolkas som lagen om enhetlig fördelning av primtal över restklasser , eftersom $\mod k$

\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s)))){\ln {\dfrac {1}{ s-1}}}}=1,

om summeringen är över alla primtal.

Det är känt att för alla samprimtal och serien , där summeringen är över primtal , divergerar. $l$ $k$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ $p\equiv l{\pmod {k))$

Se även

Tecken - det huvudsakliga matematiska verktyget för att studera primtal i aritmetisk progression

Anteckningar

↑ Yu. V. Linnik, A. O. Gelfand. Elementära metoder i analytisk talteori. - Fizmatgiz, 1962.

Litteratur

Postnikov M.M. Fermats teorem. Introduktion till teorin om algebraiska tal. - M .: Nauka , 1986.