Cauchy-Poincarés sats

Cauchy-Poincaré-satsen är en generalisering av Cauchy-integralsatsen till fallet med ett flerdimensionellt komplext utrymme . Det bevisades av A. Poincaré 1886.

Formulering

Låt vara en komplex mångfald av (komplex) dimension och vara en holomorf gradform på denna mångfald. Då är integralen av över gränsen för valfri dimensionell kedja lika med noll: $M$ $n$ $\omega$ $n$ $\omega$ $(n+1)$ $\sigma \subset M$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Bevis

I lokala koordinater som verkar i grannskapet har den holomorfa formen formen: , där är en holomorf funktion i . Eftersom och är holomorf , därför ; genom den yttre produktens egenskaper erhåller vi därför att , det vill säga att formen är sluten. I kraft av Stokes formel är integralen av den slutna formen över gränsen lika med noll: . Därför drar vi slutsatsen att integralen är noll. $(z,{\bar {z)))$ $U\subset M$ ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n))$ $f$ $U$ ${\bar {\partial }}f=0$ ${\displaystyle df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu ))}dz_{\mu ))$ $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Litteratur

B. V. Shabat Introduktion till komplex analys, del II, Funktioner av flera variabler, M., Nauka, 1985