Lebesgues dominerade konvergenssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Lebesgue-satsen om dominerad konvergens inom funktionell analys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner är en sats som säger att om en sekvens av mätbara funktioner som konvergerar nästan överallt kan avgränsas i absolut värde av en integrerbar funktion från ovan, då alla medlemmar av sekvensen, som såväl som gränsfunktionen är också integrerbara. Dessutom konvergerar sekvensens integral till integralen av dess gräns.

Formulering

Låt ett mellanslag med mått vara fixat . Låt oss anta att och är mätbara funktioner på , dessutom nästan överallt . Om det sedan finns en integrerbar funktion definierad på samma utrymme så att nästan överallt, då är funktionerna integrerbara och $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f_n$ $X$ $f_{n}(x)\till f(x)$ $g$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ $f_{n},\;f$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\ ,\mu(dx).

Notera

Villkoret att en sekvens majoriseras av en integrerbar funktion är grundläggande och kan inte utelämnas, vilket följande motexempel visar. Låt , där vara en Borel -algebra på , och vara Lebesgue-måttet på samma utrymme. Låt oss definiera $\{f_{n}\}$ $g$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B)),\;m)$ ${\mathcal {B}}$ $\sigma$ $[0,\;1]$ $m$

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Då kan sekvensen inte majoriseras med en integrerbar funktion, och $\{f_{n}\}$

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _ {{n\to \infty }}\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

Tillämpning på sannolikhetsteori

Eftersom den matematiska förväntan av en slumpvariabel definieras som dess Lebesgue-integral över utrymmet av elementära utfall , överförs ovanstående sats till sannolikhetsteorin . Låt det finnas en sekvens av slumpvariabler som konvergerar nästan överallt : nästan överallt. Låt dessutom, det finns en integrerbar slumpvariabel så att nästan säkert. Då är de slumpmässiga variablerna integrerbara och $\Omega$ $X_{n}\till X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}={\mathbb {E}}X.

Variationer och generaliseringar

Lebesgues