Montels sats om en kompakt familj av funktioner

Montels sats om kompakthetsförhållanden för en familj av holomorfa funktioner eller kompakthetsprincipen:

Låta vara en oändlig familj av holomorfa funktioner i det komplexa planets domän ; sedan, för att denna familj ska vara prekompakt, det vill säga för att någon sekvens ska kunna välja en delsekvens som konvergerar enhetligt lokalt inuti , är det nödvändigt och tillräckligt att familjen är enhetligt avgränsad lokalt inuti . ${\displaystyle \{f_{\alpha }(z)\))$ $D$ $z$ $f_{\alpha _{i))$ $D$ $D$

Montels sats är generaliserad till domäner i rymden , . $D$ ${\mathbb C}^{n}$ $n>1$

Montels sats är en följd av Arzela-Ascolis sats , uppskattningar av derivatorna av en analytisk funktion (Cauchys olikhet) och separerbarheten av vilken domän som helst i . ${\mathbb C}^{n}$

Konsekvenser

En konsekvens av Montels teorem är följande faktum: Om domänen ligger kompakt i domänen , då är restriktionsoperatorn till domänen D för funktioner holomorfa i G kompakt (i topologin för lokalt enhetlig konvergens av funktioner). $D$ $G$
Montels sats används för att bevisa Riemanns konforma mappningssats (den erforderliga konforma mappningen eftersträvas som en som maximerar modulen för derivatan vid något tillfälle, och förekomsten av en sådan mappning följer av kontinuiteten i denna funktion och kompaktheten hos derivatan. familj av funktioner med värden i enhetscirkeln).