Picks teorem (komplex analys)

Pick 's theorem , eller Schwarz -Pick 's theorem , är en oföränderlig formulering och generalisering av Schwarz's lemma .

Formulering

Låta vara en vanlig analytisk funktion från enhetscirkeln till enhetscirkeln $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Dessutom uppnås likhet endast när det finns en linjär-fraktionell funktion som kartlägger cirkeln på sig själv. $w=f(z)$ $F$

Eftersom det

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

skick

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

motsvarar följande ojämlikhet:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Om och är oändligt nära, förvandlas det till $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.

Plocka G. Mathematische Annalen. - 1916. - Bd 77. - S. 1-6.
Goluzin GM Geometrisk teori om funktioner för en komplex variabel . - 2:a uppl. - M., 1966.