Harcourts teorem
Harcourts sats är en formel i geometrin för arean av en triangel som funktion av sidornas längder och avstånden från triangelns hörn till en godtycklig linje som tangerar den inskrivna cirkeln [1] .
Teoremet är uppkallat efter J. Harcourt, en irländsk professor [2] .
Uttalande
Låt triangeln ges av dess hörn A , B och C , sidorna mitt emot hörnen har längderna a , b och c , arean är lika med K och linjen berör cirkeln som är inskriven i triangeln i en godtycklig punkt. Låt oss beteckna avstånden från triangelns hörn till den räta linjen som a ', b ' och c ', medan om spetsen och cirkelns centrum ligger på motsatta sidor av den räta linjen anses avståndet vara negativt. Sedan
Degenererat skiftläge
Om tangentlinjen innehåller en av triangelns sidor är två avstånd lika med noll och formeln förenklas till triangelformeln - två gånger är arean lika med produkten av basen och höjden.
Generalisering
- Om linjen tangerar cirkelcirkeln mittemot t.ex. triangelns vertex A , då [3]
- Om på en tangent till en cirkel med radien x , koncentrisk med den inskrivna cirkeln, släpp vinkelräta från triangelns hörn , då [4] .
- I synnerhet, om x=r , där r är radien för den inskrivna cirkeln, så har vi Harcourts sats .
Dualitetsegenskap
Om a', b', c' istället för avståndet till en godtycklig tangent till den inskrivna cirkeln anger avstånden från sidorna till en godtycklig punkt, är likheten
förblir sant [5] .
Anteckningar
- ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , sid. 117-124.
- ↑ G.-M., 1912 , sid. 750.
- ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , Thm.3.
- ↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. Följd på sid. 43.
- ↑ Whitworth, 2012 , sid. elva.
Litteratur
- Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Harcourts sats // Forum Geometricorum. - 2003. - T. 3 .
- FG-M. Exercises de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 question résolues (neopr.) . - upplaga=5:e. - Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Paris), 1912. - (Cours de mathématiques elementaires).
- William Allen Whitworth. Trilinjära koordinater och andra metoder för modern analytisk geometri av två dimensioner . - 2012. - (Forgotten Books (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).