Stolz' teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Stolz sats är ett uttalande av matematisk analys , i vissa fall hjälpa till att hitta gränsen för en sekvens av reella tal . Teoremet är uppkallat efter den österrikiske matematikern Otto Stolz , som publicerade dess bevis 1885 [1] . Till sin natur är Stolz' teorem en diskret analog av L'Hôpitals regel .

Formulering

Låta och vara två sekvenser av reella tal, dessutom positiva, obegränsade och strikt ökande (åtminstone med början från någon term). Sen om det finns en gräns $en$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

då finns det en gräns

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

och dessa gränser är lika.

Bevis

Nedan finns ett bevis enligt Fikhtengolts [2] , ett annat bevis ges i boken av Arkhipov, Sadovnichy och Chubarikov [3] .

Låt oss först anta att gränsen är lika med ett ändligt tal , sedan för varje givet finns det ett sådant tal som kommer att äga rum: $L$ $\varepsilon >0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac {\varepsilon }{2))

Så för alla är alla bråk: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

ligger mellan dessa gränser. Eftersom nämnarna för dessa fraktioner är positiva (på grund av den strikt ökande sekvensen ), så finns, genom egenskapen för medianten , också en fraktion mellan samma gränser: $b_n$

{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

vars täljare är summan av täljarna av bråken skrivna ovan, och nämnaren är summan av alla nämnare. Så, vid : $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}

Tänk nu på följande identitet (kan verifieras direkt):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\höger)\vänster({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\höger)

varifrån vi har

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|

Den andra termen vid blir mindre än , den första termen blir också mindre än , vid , där är något tillräckligt stort antal, på grund av det faktum att . Om vi tar , då för vi kommer att ha $n>N$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ $n>M$ $M$ $b_{n}\till +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

vilket bevisar vårt påstående.

Fallet med en oändlig gräns kan reduceras till en ändlig. Låt för tydlighetens skull:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

det följer att för tillräckligt stor : $n$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

och

\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=+\infty

och sekvensen ökar strikt (med början från ett visst antal). I det här fallet kan den bevisade delen av satsen tillämpas på det omvända förhållandet : $en$ ${b_{n} \over a_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

därav följer att:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Om gränsen är måste du överväga sekvensen . $-\infty$ $\{-en}\}$

Konsekvens

En konsekvens av Stolz sats är regelbundenhet i Ces'aro summationsmetoden . Detta betyder att om sekvensen konvergerar till talet , då konvergerar sekvensen av aritmetiska medel till samma tal. $en$ $a$ ${\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$

Anteckningar

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (tyska) . - Leipzig: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov, 1999 .

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Föreläsningar om matematisk analys / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Högre skola , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .