Eulers triangelsats

Eulers formel - planimetrisatsen , relaterar avståndet mellan de inskrivna och omskrivna cirklarnas centrum och deras radier.

Satsen är uppkallad efter Leonhard Euler .

Formulering

Avståndet mellan mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna i en triangel kan bestämmas med formeln $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

där är radien för den omskrivna cirkeln, är radien för den inskrivna cirkeln. $R$ $r$

Anteckningar

Ovanstående formel kan skrivas om enligt följande ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

eller

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

Teoremet antyder den så kallade Euler-ojämlikheten $R\geq 2r$ .
- Det finns en starkare form av denna ojämlikhet [1] :s. 198 , nämligen: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

var är triangelns sidor.

a,b,c

För en sfärisk triangel kan förhållandet mellan radien för den omskrivna cirkeln och radien för den inskrivna cirkeln vara mindre än 2. Dessutom, för alla tal mellan 1 och 2, finns det en regelbunden sfärisk triangel med förhållandet mellan radien på den omslutna cirkeln till radien av den inskrivna cirkeln lika med detta tal.

Bevis

Låt vara mitten av den omslutna cirkeln av triangeln , och vara mitten av den inskrivna cirkeln. Om strålen skär den omskrivna cirkeln vid en punkt , så är den mittpunkten av bågen . Låt oss rita en stråle och beteckna dess skärningspunkt med den omskrivna cirkeln som . Då blir diametern på den omskrivna cirkeln. Från punkten släpper vi vinkelrät till Sedan skriver vi Eulerformeln i en lite annan form $O$ $\Delta ABC$ $jag$ $AI$ $L$ $L$ $före Kristus$ $LO$ $M$ $LM$ $jag$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Du kan se att till vänster är graden av punkten i förhållande till den omskrivna cirkeln (för att vara exakt, minus graden av punkten). Det vill säga, det räcker för att bevisa jämställdheten . Med treuddens lemma räcker det för att bevisa det . Nu noterar vi att , det vill säga den erforderliga likheten kan skrivas om i formen Låt oss skriva om det lite mer: . Denna likhet följer av likheten mellan trianglar och . Faktum är att vinklarna och dessa trianglar är räta, och vinklarna och är lika, eftersom båda förlitar sig på bågen (desutom är förhållandet lika med vinkelns sinus ). $jag$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ $\triangle MLB$ $B$ $D$ $A$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Historik

Denna sats är uppkallad efter Leonhard Euler, som publicerade den 1765. Samma resultat hade dock publicerats tidigare av William Chapple 1746. [2]

Variationer och generaliseringar

För mitten av en cirkel

För excirklar ser ekvationen ut så här:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

där är radien för en av excirklarna, och är avståndet från centrum av den omskrivna cirkeln till mitten av denna cirkel [3] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

För polygoner

För radierna respektive de omskrivna och inskrivna cirklarna för en given inskriven-omskriven fyrhörning (se fig.) och avståndet mellan dessa cirklars mittpunkter är förhållandet uppfyllt: $R$ $r$ $d=x$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

eller motsvarande,

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Denna relation kallas Fuss Theorem . Det erhölls av Nikolai Ivanovich Fuss [6] 1792.

Cayleys Poncelet- kedjesats generaliserar Eulers teorem till inskrivna-omskrivna -goner [7] . $n$

Se även

Poncelet porism

Anteckningar

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities , Forum Geometricorum vol 12: 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FGindex.html > Archived kopia daterad 28 oktober 2019 på Wayback Machine .
↑ Chapple, William (1746), En essä om egenskaperna hos trianglar inskrivna i och omskrivna om två givna cirklar , Miscellanea Curiosa Mathematica vol. 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/ n142 > . Formeln för avståndet är nära botten på s.123.
↑ Roger Nelson. Eulers triangelojämlikhet via bevis utan ord // Mathematics Magazine. - Februari 2008. - Utgåva. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. modern geometri. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulers formel och Poncelets porism // Forum Geometricorum. - 2001. - Utgåva. 1 . — S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Arkiverad 17 februari 2020 på Wayback Machine
↑ Avksentiev, E. A. Invarianta mått och stängningssatser av Poncelet-typ Arkiverad 14 augusti 2016 på Wayback Machine

Länkar

Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .