De två polisernas sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 januari 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

The two policemen theorem är ett teorem i matematisk analys om förekomsten av en gräns för en funktion som är "sandwiched" mellan två andra funktioner som har samma gräns. Formulerad enligt följande:

Om funktionen är sådan att för alla i någon grannskap av punkten , och funktionerna och har samma gräns vid , så finns det en gräns för funktionen vid , lika med samma värde, det vill säga $y=f(x)$ $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $x$ $a$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $x\till a$ $y=f(x)$ $x\till a$

\lim _{{x\to a}}\varphi (x)=\lim _{{x\to a}}\psi (x)=A\Högerpil \lim _{{x\to a}}f( x)=A.

Detta namn har också en liknande sekvensgränssats , formulerad enligt följande:

Om sekvensen är sådan att för alla , och sekvenserna och har samma gräns vid , så finns det en gräns för sekvensen vid , lika med samma värde, det vill säga $en$ $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ $n$ $b_n$ $c_n$ $n\till\infty$ $en$ $n\till\infty$

\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}c_{n}=A\Rightarrow \lim _{{n\to \infty }}a_ {n}=A.

Bevis

Från ojämlikheten får vi ojämlikheten . Villkoret tillåter oss att säga att för alla finns det ett grannskap där ojämlikheterna och är sanna . Av ovanstående ojämlikheter följer att för , som uppfyller definitionen av gränsen , det vill säga [1] . $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ $\lim \limits _{{x\to a}}\varphi (x)=A=\lim \limits _{{x\to a}}\psi (x)$ $\varepsilon >0$ $U_{a}$ $\left|\varphi(x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ $x\in U_{a}$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=A$

Titel och utländsk terminologi

Namnet på satsen kommer från det faktum att om två poliser leder en fånge till polisstationen under armarna, då tvingas han följa med dem.

I olika länder kallas denna sats olika. Sammandragningssatsen, mellanfunktionssatsen, två carabinieri -satsen, sandwichsatsen (eller sandwichregeln), tresträngsatsen, två - gendarmsatsen , tvåpolismanssatsen , etc.

Se även

Anteckningar

↑ Demidovich B.P. , Kudryavtsev V.A. En kort kurs i högre matematik. — M .: AST ; Astrel, 2007. - S. 121-122. - ISBN 978-5-17-004601-0 . - ISBN 978-5-271-01318-8 . - ISBN 978-985-16-4561-5 .

Länkar

Diskussion om namnet på satsen i olika länder