Modularitetsteorem

Modularitetssatsen  är ett matematiskt teorem som fastställer ett viktigt samband mellan elliptiska kurvor över fältet av rationella tal och modulära former , som är vissa analytiska funktioner hos en komplex variabel . År 1995 bevisade Andrew Wiles , med hjälp av Richard Taylor , detta teorem för alla semistabla elliptiska kurvor över fältet av rationella tal. Beviset för de återstående (icke-semistabila) fallen av satsen var resultatet av Christoph Breuils arbete, Brian Conrad, Fred Diamondoch Richard Taylor. Fram till 2001 (det fullständiga beviset erhölls 1999 ) kallades satsen Taniyama-Shimura-Weil-förmodan (eller Taniyama-Shimura-Weil-förmodan ).

Modularitetssatsen är en del av Langlands-programmet , som specifikt syftar till att hitta sambandet mellan automorfa former eller automorfa representationer (en bekväm generalisering av modulär form) med mer allmänna objekt i algebraisk geometri , såsom elliptiska kurvor över ett algebraiskt talfält. De flesta av hypoteserna i detta program har ännu inte bevisats.

Formulering

Om  är ett primtal och  är en elliptisk kurva över ( fältet av rationella tal ), då kan vi förenkla ekvationen genom att definiera modulo ; för vilken ändlig uppsättning värden som helst kan man få en elliptisk kurva över ett ändligt fält av element. Låt oss introducera en sekvens , som är en viktig invariant av den elliptiska kurvan . Vilken modulform som helst ger oss också en talföljd (med Fouriertransformen ). En elliptisk kurva vars sekvens sammanfaller med den för en modulär form kallas en modulär.

Modularitetssatsen säger att alla elliptiska kurvor över är modulära.

Historik

Detta uttalande lades först fram som en hypotes av Yutaka Taniyama i september 1955 . Tillsammans med Goro Shimura förfinade han formuleringen lite 1957 , men kunde inte fortsätta på grund av psykiska problem [1] [2] .

På 1960 -talet ingick hypotesen i Langlands-programmet för enande av matematiska hypoteser. Fransmannen Andre Weil kom ihåg hypotesen på 1970 -talet och började sin aktiva studie , därför kallas denna hypotes ofta för Taniyama-Shimura-Weil-hypotesen .

Hypotesen blev allmänt intresserad först när, 1985, Gerhard Freiföreslog att Taniyama-Shimura-förmodan (då kallades det så) är en generalisering av Fermats sista sats , eftersom varje motexempel till Fermats sista sats så småningom skulle leda till en icke-modulär elliptisk kurva. 1986 Ken Ribetbevisade detta antagande. 1995 bevisade Andrew Wiles och Richard Taylor ett specialfall av Taniyama-Shimura-teoremet (fallet med semistabla elliptiska kurvor), vilket var tillräckligt för att bevisa Fermats sista sats [3] .

Modularitetsteoremet bevisades fullt ut 1999 som ett resultat av Christoph Breuils arbete, Brian Conrad, Fred Diamondoch Richard Taylor , som, som bygger på Wiles arbete, bevisade de återstående (icke-halvstabila) fallen.

Andra talteorems satser följer av modularitetssatsen, liknande Fermats sista sats. Till exempel, "kuben av ett tal kan inte skrivas som summan av två samprimtal som är den -:te potensen av ett naturligt tal om " [4] .

I mars 1996 mottog Wiles Wolf Prize tillsammans med Robert Langlands . Även om ingen av dem helt bevisade satsen, hävdades det att de gjorde ett betydande bidrag, vilket i hög grad underlättade ytterligare bevis [5] .

Anteckningar

  1. ↑ Stewart, 2016 , sid. 196.
  2. ↑ Taniyama begick självmord 1958 och lämnade en ganska kryptisk anteckning. Ungefär en månad senare begick hans fästmö Misako Suzuki självmord och lämnade en lapp där det stod att hon borde återförenas med sin fästman.
  3. ↑ Soloviev Yu.P. Taniyamas gissningar och Fermats sista teorem  (neopr.)  // Soros Educational Journal. - 1998. - Februari. - S. 135-138 .
  4. ↑ Fallet var känt även för Euler och Fermat själv.
  5. ↑ Stewart, 2016 , sid. 200.

Länkar

Litteratur