Phragmen–Lindelöfs satser om tillväxten av reguljära funktioner

Phragmen-Lindelöfs satser om tillväxten av reguljära funktioner är påståenden om att en funktion av en komplex variabel , regelbunden i någon oändlig region och kontinuerlig i , och även avgränsad till regionens gräns , eller begränsad överallt i eller inuti växer tillräckligt snabbt - ju "snabbare" desto mindre yta . $F Z)$ $D$ $\overline {D}$ $\partiell D$ $D$ $\overline {D}$ $D$ $D$

Phragmen-Lindelöfs övre halvplanssats

Låt funktionen vara regelbunden i halvplanet och kontinuerlig i halvplanet , och , . Då antingen för alla , eller så har funktionen ordning i halvplanet inte mindre än enhet. $F Z)$ $Rez>0$ $Rez\geqslant 0$ $\mid F(iy)\mid <C_{0}$ $-\infty <y<\infty$ $\mid F(z)\mid <C_{0}$ $z$ $Rez\geqslant 0$ $F Z)$ $Rez\geqslant 0$ $\rho$

Förklaringar

Ett nummer kallas ordningen för hela funktionen om . Med andra ord, en hel funktion har ordning , om det för någon finns en konstant och en sekvens av ökande till positiva tal , så att $\rho$ $F Z)$ $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r))$ $\rho$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle C_{\epsilon ))$ $\infty$ ${\displaystyle r_{k))$

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon } )

$r>0$ ,

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^ {\rho +\epsilon })

$k=1,2,$ .

Bevis

Beviset finns i boken [1] .

Anteckningar

↑ Funktionsinterpolationsmetoder och några av deras tillämpningar, 1971 , sid. 37.

Litteratur

Ibragimov II Funktionsinterpolationsmetoder och några av deras tillämpningar. — M .: Nauka, 1971. — 518 sid.