Testa funktioner för optimering

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 mars 2021; kontroller kräver 14 redigeringar .

I tillämpad matematik är testfunktioner kända som artificiella landskap användbara för att utvärdera prestandan hos optimeringsalgoritmer, som:

konvergenshastighet.
Noggrannhet.
robusthet .
Prestanda.

Den här artikeln introducerar några testfunktioner för att ge dig en uppfattning om de olika situationer som du måste möta när du övervinner sådana problem.

Artikeln presenterar den allmänna formeln för ekvationen, platsen för målfunktionen, gränserna för variablerna och koordinaterna för det globala minimumet.

Testa funktioner för ett enda optimeringsmål

namn	Formel	Globalt minimum	Sökmetod
Rastrigin funktion	$f(\mathbf {x} )=An+\summa _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ höger]$ ${\text{där: }}A=10$	$f(0,\dots ,0)=0$	$-5.12\leq x_{i}\leq 5.12$
Ackley funktion	$f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)))\right]$ $-\exp \left[0.5\left(\cos(2\pi x)+\cos(2\pi y)\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Sfärfunktion	$f({\boldsymbol {x}})=\summa _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Rosenbrock funktion	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \right)^{2}+\left(x_{i}-1\right)^{2}\right]$	${\text{Min))={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\högerpil \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ gånger}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Beals funktion	$f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Goldstein-Price funktion	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\right)\right]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Båsfunktion	${\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2))$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Bukin funktion N 6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Mattias funktion	$f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Avgiftsfunktion N 13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Himmelblau funktion	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Den trepuckels kamelens funktion	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Isom funktion	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
"Cross on tray" funktion (Cross-in-tray-funktion)	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|+1\höger]^{0.1}$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Äggställningsfunktion (Ägghållarfunktion)	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2))+\left(y+47\right)\ höger\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Tabellhållare funktion	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2))} {\pi ))\right\|\right)\right\|$	${\text{Min))={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
McCormick funktion	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1,5x+2,5y+1$	$f(-0,54719,-1,54719)=-1,9133$	$-1.5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Shaffer funktion N2	$f(x,y)=0,5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0,5}{\left[1+0,001\ vänster(x^{2}+y^{2}\höger)\höger]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Shaffer funktion N4	${\displaystyle f(x,y)=0,5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \right]-0,5}{\left[1+0,001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2))))$	$f(0.1.25313)=0.292579$	$-100\leq x,y\leq 100$
Stybinsky-Tang funktion	$f({\boldsymbol {x)))={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ i}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ gånger}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ .. _ $1\leq i\leq n$

Testa funktioner för villkorlig optimering

namn	Formel	Globalt minimum	Sökmetod
rosenbrock-funktion, begränsad till kubisk och direkt [1]	${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2))$ , utsatt för: $(x-1)^{3}-y+1<0{\text{ och }}x+y-2<0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-0.5\leq y\leq 2.5$
Rosenbrocks funktion begränsad av en disk [2]	${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2))$ , utsatt för: $x^{2}+y^{2}<2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-1.5\leq y\leq 1.5$
Begränsad Mishra-Bird funktion [3] [4]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , utsatt för: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6.5\leq y\leq 0$
Modifierad Townsend-funktion [5]	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , utsatt för: där: t = Atan2(x,y) $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2.25\leq x\leq 2.5$ , $-2.5\leq y\leq 1.75$
Simonescu-funktion [6]	$f(x,y)=0.1xy$ , utsatt för: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ höger]^{2}$ ${\text{där: }}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ och }}n=8$	$f(\pm 0,85586214,\mp 0,85586214)=-0,072625$	$-1.25\leq x,y\leq 1.25$

Testa funktioner för multiobjektiv optimering

Titel/bild	Formel	Minimum	Sökområde
Bean och Korn funktion	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\ left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2 }\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Chakong och Haimes fungerar	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left (y-1\höger)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases} }$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{ 2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Fonseca och Fleming funktion	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\summa _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n))}\right)^{2}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\right)^{2}\right)\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
testfunktion 4	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x, y\right)&=-0.5xy-1\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\ \g_{2}\left(x,y\right)&=7.5-0.5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\ \end{cases}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Kursiv funktion	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\summa _{i=1}^{2}\left [-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2} \left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left (x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Schaffer funktion N. 1	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&= \left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . Formvärden som har använts framgångsrikt. Högre värden ökar problemets svårighetsgrad. $A$ $tio$ $10^{5}$ $A$
Schaffer funktion N.2	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\ text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{case }}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Poloni2 objektiv funktion	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\ vänster(x,y\höger)\höger)^{2}+\vänster(A_{2}-B_{2}\vänster(x,y\höger)\höger)^{2}\höger]\\f_ {2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{där}}={\begin{cases}A_{1}&=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left( 2\höger)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}&=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left( 2\höger)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)&=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x \right)+\sin \left(y\right)-1,5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)&=1,5\sin \left(x\right) )-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0,5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Zister-Dieb-Teri funktion N. 1	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\summa _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right))}\\ \end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Teri funktion N. 2	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\summa _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\höger)))\höger) ^{2}\\\end{case}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-Terin funktion N. 3	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\summa _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}-\ vänster({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right)\sin \left(10 \pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{case}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Zister-Dieb-TeriN-funktion. fyra	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\summa _{i=2}^{10}\left(x_ {i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right) ,g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\ left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{case}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ ... _ $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Zister-Dieb-Teri funktion N. 6	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right )\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x }}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left( {\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25} \\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{case }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Winnet funktion	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right) +\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\ höger)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y \right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\ höger)\right)\\\end{case}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .
Funktion av Osyzki och Kundu	$F_{1}(x)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}$ $-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right) ^{2}$ ${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=F_{1}(x)\\f_{2}\ vänster({\boldsymbol {x}}\right)&=\summa _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{case}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0 \\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x} }\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{ 2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\ geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\ slut{cases}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
CTP1-funktion (2 variabler)	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= \left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)} {0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases} }$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Constr-Ex problem	${\text{Minimera}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= {\frac {1+y}{x}}\\\end{fall}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y \right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$

Se även

Litteratur

Panteleev A.V., Metlitskaya D.V., E.A. Aleshina Metoder för global optimering. Metaheuristiska strategier och algoritmer // M.: Vuzovskaya kniga. 2013. 244 sid. ISBN 978-5-9502-0743-3
Sergienko AB Testa funktioner för global optimering.

Länkar

Testning av multivariata optimeringsalgoritmer

Anteckningar

↑ Simionescu, PA (29 september–2 oktober 2002). Nya koncept i grafisk visualisering av målfunktioner (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Technical Conferences och Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Kanada. pp. 891-897. Arkiverad (PDF) från originalet 2017-01-08 . Hämtad 7 januari 2017 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Lös ett begränsat icke-linjärt problem - MATLAB & Simulink . www.mathworks.com . Hämtad 29 augusti 2017. Arkiverad från originalet 29 augusti 2017. (obestämd)
↑ Fågelproblem (begränsad) | Phoenix Integration (inte tillgänglig länk) . wayback.archive.org . Hämtad 29 augusti 2017. Arkiverad från originalet 29 december 2016. (obestämd)
↑ Mishra, Sudhanshu. Några nya testfunktioner för global optimering och prestanda för repulsiv partikelsvärmmetod (engelska) // MPRA Paper : journal. - 2006. Arkiverad 4 november 2018.
↑ Townsend, Alex Begränsad optimering i Chebfun . chebfun.org (januari 2014). Hämtad 29 augusti 2017. Arkiverad från originalet 29 augusti 2017. (obestämd)
↑ Simionescu , PA Datorstödda grafer och simuleringsverktyg för AutoCAD-användare . — 1:a. — Boca Raton, FL: CRC Press , 2014. — ISBN 978-1-4822-5290-3 .