Point Poncelet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 maj 2020; kontroller kräver 11 redigeringar .

Poncelet - punkten är föremål för följande sats [1] :

För varje fyrdubbling av punkter , andra än ortocentriska , skär cirklarna av nio punkter av trianglar , , , vid en punkt, som kallas Poncelet-punkten . $A,B,C,D$ $ABC$ $BCD$ $ABD$ $ACD$

Notera

Poncelets sats ovan behandlar ett 4-punktssystem som inte är ett så kallat ortocentriskt 4-punktssystem.
Om i de fyra punkterna , , , är punkten skärningspunkten för triangelns höjder , då är någon av de fyra punkterna ortocentrum av triangeln som bildas av de andra tre punkterna. En sådan fyrdubbling kallas ibland för ett ortocentriskt system av punkter . För andra egenskaper hos ett ortocentriskt system av punkter , se artikeln ortocenter . $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
I definitionen ovan för Poncelet-punkten kan man släppa omnämnandet av det ortocentriska punktsystemet , om man till exempel ersätter det med ett system med 4 punkter som bildar hörnen på en konvex icke-degenererad fyrhörning, som automatiskt aldrig bildar en ortocentriskt punktsystem .
Förresten, om 4-punktssystemet i definitionen ovan för Poncelet-punkten fortfarande visar sig vara ortocentriskt , så kommer Poncelet-punkten helt enkelt att bli Eulercirkeln (en oändlig uppsättning punkter) som är gemensam för det ortocentriska punktsystemet .

Egenskaper för Poncelet-punkten

Om är triangelns ortocentrum , så sammanfaller Poncelet-punkterna för fyrdubbla poäng , , , . $H$ $ABC$ $ABCD$ $ABHD$ $AHCD$ $HBCD$

Poncelet-punkten av de fyra punkterna ligger på pedalcirkeln för punkten i förhållande till triangeln , det vill säga på den omgivna cirkeln av punktens subdermala triangel i förhållande till triangeln . $ABCD$ $D$ $ABC$ $D$ $ABC$

Ponceletpunkten för de fyra punkterna är mitten av den likbenta hyperbeln som passerar genom punkterna , , , . $ABCD$ $A$ $B$ $C$ $D$

Poncelet-punkten för fyrdubblingen av punkter ligger på punktens ceviancirkel i förhållande till triangeln , det vill säga på cirkeln som innehåller baserna för triangelns cevian som passerar genom punkten . $ABCD$ $D$ $ABC$ $ABC$ $D$

Poncelet-punkten för fyrfalden är mittpunkten av segmentet som förbinder punkterna och , där är bilden av punkten vid antigonal konjugering med avseende på triangeln $ABCD$ $D$ $D'$ $D'$ $D$ $ABC$

Poncelet-punkterna för fyrdubblingarna och sammanfaller. $ABCD$ $ABCD'$

Notera

Antigonal konjugation är samma som anti-isogonal konjugation. [2]

Litteratur

Matematik i uppgifter. Samling av material från fältskolor i Moskva-laget för den allryska matematiska olympiaden / Redigerad av A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov och A. V. Shapovalov .. - Moskva: MTsNMO, 2009 - ISBN-5-9708 477-4 .
Vonk, Jan (2009), The Feuerbach point and reflections of the Euler line , Forum Geometricorum vol 9: 47–55 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG2009Volume9.pdf#page=51 >

Se även

Miquel pekar

Anteckningar

↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , sid. 118, uppgift 9.
↑ Se Antigonal konjugation // http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BB% D0 %B8%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA% D0 %B8