Transponering (matematik)

I matematik är en transponering en bijektion av en mängd in i sig själv, som omarrangerar två delar av denna mängd.

Formell definition

Låt en finit mängd ges , en transponering på den är en permutation ( en bijektiv funktion från till ) så att det finns index och sådana att , och för alla andra index ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\))$ $X$ $X$ $f$ $i$ $j$ ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j))$ ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i))$ ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k))$ $k.$

Transponering representeras ofta som en cykel $(a_{i},a_{j}).$

Exempel

Till exempel, om , är funktionen definierad som ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\))$ $\sigma$

{\begin{matrix}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\ sigma (e)&=&b\end{matris}},

då är denna permutation en transponering.

Egenskaper

Vilken permutation som helst kan representeras som en sammansättning (produkt) av transpositioner.

Tecknet på en permutation kan bestämmas från nedbrytningen av en permutation till en produkt av transpositioner: , där är antalet transpositioner i nedbrytningen. ${\displaystyle \operatörsnamn {sgn}(\sigma )=(-1)^{m))$ $m$

Se även

Permutation