Triakisicosahedron

Triakisikosahedron (från annan grekisk τριάχις - "tre gånger", εἴκοσι - "tjugo" och ἕδρα - "ansikte") är en halvregelbunden polyeder (katalansk kropp), dubbel till en stympad dodekaeder . Består av 60 identiska trubbiga likbenta trianglar , där en av vinklarna är lika och de andra två $\arccos \left(-{\frac {3+3{\sqrt {5}}}{20}}\right)\approx 119{,}04^{\circ },$ $\arccos \,{\frac {15+{\sqrt {5}}}{20}}\approx 30{,}48^{\circ }.$

Har 32 hörn; i 12 hörn (belägen på samma sätt som ikonens hörn ) konvergerar med sina spetsiga vinklar på 10 ytor, i 20 hörn (placerade på samma sätt som hörn av dodekaedern ) konvergerar med trubbiga vinklar på 3 ytor.

Triakisicosahedron har 90 kanter - 30 "långa" (arrangerade på samma sätt som kanterna på icosahedron) och 60 "korta" (tillsammans bildar en figur som är isomorf - men inte identisk - med ryggraden i den rombiska triacontahedronen ). Den dihedriska vinkeln för varje kant är densamma och lika med $\arccos \left(-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}\right)\approx 160{,}61^{\circ }.$

En triakisicosahedron kan erhållas från en icosahedron genom att fästa på var och en av dess ytor en vanlig triangulär pyramid med en bas som är lika med icosahedronens yta och en höjd som är en gång mindre än sidan av basen. I det här fallet kommer den resulterande polyedern att ha 3 ytor istället för var och en av de 20 ytorna på den ursprungliga - vilket är anledningen till dess namn. ${\frac {5{\sqrt {15}}+9{\sqrt {3}}}{2}}\approx 17{,}48$

Triakisicosahedronen är en av de sex katalanska fasta ämnen där det inte finns någon Hamilton-cykel [1] ; det finns inte heller någon Hamiltonsk väg för alla sex.

Metriska egenskaper

Om de "korta" kanterna på triakisicosahedron har längd , så har dess "långa" kanter längd och ytarean och volymen uttrycks som $a$ ${\frac {1}{10}}\left(15+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}72a,$

S=3{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(173-9{\sqrt {5}}\right)))\;a^{2}\approx 26{, }2285960a^{2},

V={\frac {1}{4}}\left(19+13{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 12{,}0172209a^{3}.

Radien för den inskrivna sfären (som vidrör alla ytor på polyedern i deras centrum ) blir då lika med

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{122}}\left(477+199{\sqrt {5}}\right)))\;a \ca 1{,}3745174a,

radie av en halvinskriven sfär (vidrör alla kanter) -

\rho ={\frac {1}{10}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3944272a.

Det är omöjligt att beskriva en sfär nära triakisicosahedronen så att den passerar genom alla hörn.

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Graphs of Catalan Solids at Wolfram MathWorld .

Länkar

Weisstein, Eric W. Triakisicosahedron (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig