Ekvation som leder till homogen

En ekvation som leder till en homogen är en differentialekvation av första ordningen , som genom en förändring av variabler , uttryckt i explicit form, kan omvandlas till en homogen ekvation . Ett exempel är ekvationen

${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\quad \triangle ={\begin {vmatrix}a&b\\\alpha &\beta \end{vmatrix}}\neq 0$ ,

som är en ersättare

$x=u+\psi ,\quad y=v+\nu ,\quad a\psi +b\nu +c=0,\quad \alpha \psi +\beta \nu +\gamma =0$ ,

reduceras till en homogen ekvation

${\frac {dv}{du}}=f\left({\frac {au+bv}{\alpha u+\beta v}}\right)$ .

Genom att integrera denna ekvation och göra en omvänd förändring av variabler får vi alla lösningar av den ursprungliga ekvationen. För , den ursprungliga ekvationen reduceras direkt till en ekvation med separerbara variabler genom en förändring. $\triangle =0$ $u=ax+by$

Se även

Generaliserad differentialekvation