Rörelseekvation

Rörelseekvationen ( rörelseekvationer ) är en ekvation eller ett ekvationssystem som sätter evolutionslagen för ett mekaniskt eller dynamiskt system (till exempel ett fält ) i tid och rum [1] .

Utvecklingen av ett fysiskt system bestäms unikt av rörelseekvationerna och initiala förhållanden .

Introduktion

Rörelseekvationen för ett dynamiskt system inkluderar en komplett uppsättning variabler som bestämmer tillståndet för detta system (till exempel alla koordinater och hastigheter, eller alla koordinater och momenta), såväl som deras tidsderivator, vilket medger att man känner till en sådan ställas in vid en viss tidpunkt, för att beräkna den för ett tidsögonblick separerat av ett litet (oändligt litet) tidsintervall. I princip, genom att upprepa denna beräkningsprocess successivt ett stort (oändligt) antal gånger, är det möjligt att beräkna värdet av alla dessa variabler under en tid godtyckligt långt [2] från den initiala. Med hjälp av en sådan process är det möjligt (genom att välja tillräckligt liten, men ändlig) att få en ungefärlig numerisk lösning av rörelseekvationerna. Men för att få en exakt [3] lösning måste man tillämpa andra matematiska metoder.

I modern kvantteori används termen rörelseekvation ofta för att endast beteckna de klassiska rörelseekvationerna, det vill säga bara för att skilja mellan det klassiska och kvantfallet. I denna användning betyder till exempel orden "lösning av rörelseekvationerna" just den klassiska (icke-kvant) approximationen, som sedan kan användas på ett eller annat sätt för att erhålla ett kvantresultat eller för jämförelse med det. I denna mening kallas vågfunktionens evolutionsekvationer inte för rörelseekvationer, till exempel kan Schrödinger-ekvationen och Dirac-ekvationen som nämns nedan inte kallas rörelseekvationen för en elektron. En viss tydlighet introduceras här genom ett tillägg som indikerar rörelseekvationen som vi talar om: så även om Dirac-ekvationen inte kan kallas rörelseekvationen för en elektron, kan den, även i den mening som diskuteras i detta stycke , kallas den klassiska rörelseekvationen för ett spinorfält.

Exempel

Ett enkelt mekaniskt exempel

Betrakta, inom ramen för Newtons mekanik, en punktpartikel som bara kan röra sig längs en rak linje (till exempel en pärla som glider längs en slät eker). Vi kommer att beskriva partikelns position på linjen med ett enda tal - koordinaten - x . Låt denna partikel påverkas (till exempel av någon fjäder) av en kraft f , beroende på partikelns position enligt Hookes lag, det vill säga genom att välja en lämplig referenspunkt x kan vi skriva f = - kx . I det här fallet, med hänsyn till Newtons andra lag och kinematiska relationer, som betecknar hastigheten som v , kommer vi att ha följande rörelseekvationer för vårt system:

eller, exklusive v från systemet:

Ersätter den initiala koordinaten och hastigheten i de rätta delarna av dessa ekvationer, och ersätter den oändligt lilla d t med en liten men ändlig, , och skriver om ekvationerna ungefär i enlighet med detta i den första formen - i formvärdet ( ) = värde (t) + derivata , vi får:

och, från föregående ögonblick till nästa (varje gång tiden ökar med ), kan vi få en numerisk lösning av dessa rörelseekvationer i form av en tabell , som ungefär representerar beroendet av x(t) och v( t) i tid (med ett steg ). Det kan ses att om valdes tillräckligt liten för att x(t) och v(t) är mycket nära funktionen .

Genom att använda denna ungefärliga lösning eller några andra överväganden som en gissning kan vi, om vi redan misstänker vad lösningen borde vara, helt enkelt ersätta

där  är helt enkelt konstanter, in i de exakta rörelseekvationerna, med de nödvändiga tidsderivatorna av detta uttryck. Samtidigt kan vi se till att det inte är svårt att välja specifika värden för att jämlikhet ska uppfyllas under denna substitution, och även hitta de värden som är nödvändiga för detta (det visar sig att och kan vara vilken som helst, men ... Vi fick alltså den exakta lösningen av rörelseekvationerna, och till och med den allmänna exakta lösningen (det vill säga lämplig för alla initiala förhållanden, vilket är lätt att se).

Nu, med denna allmänna exakta lösning, kan vi välja från uppsättningen allmänna lösningar (med olika och ) en speciell lösning som uppfyller specifika initiala villkor. Så här löser vi problemet för en given rörelseekvation och initialförhållanden.

Detta illustrerar konceptet med rörelseekvationen (rörelseekvationer) och deras lösning på ett specifikt enkelt exempel.

Exempel på rörelseekvationer inom olika fysikområden

• I klassisk mekanik Newtons lagar (utöver Newtons egentliga lagar - nämligen den andra - inkluderar rörelseekvationerna för Newtons mekanik kinematiska ekvationer och specifika kraftlagar, som till exempel lagen om universell gravitation eller Hookes lag ). Euler-Lagrange ekvationer Hamiltons ekvationer
• I klassisk statistisk mekanik: Liouvilles ekvation Bogolyubovs ekvation Boltzmanns ekvation Vlasov ekvation
• I klassisk fältteori: Maxwells ekvationer (kan skrivas och användas i olika former). Rörelseekvationen för ett kontinuerligt medium
• Inom kvantmekanik (se anteckningen i huvudartikeln om de möjliga begränsningarna av tillämpligheten av termen rörelseekvation på detta område) Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Lindblads ekvation Von Neumanns ekvation Dirac ekvation

Anteckningar

1. ↑ När folk talar om rörelseekvationer i sunt förnuft, menar de differential- eller integrodifferentialekvationer (även om vissa andra typer av ekvationer, som differensekvationer  för diskreta system, kan vara en ganska nära analogi).
2. ↑ Orden " i princip ... så långt du vill " betyder att detta i allmänhet bara gäller för en matematisk modell (som alltid beskriver den fysiska verkligheten endast med något fel), medan det med absolut exakt givna initiala data; i verkligheten bestäms riktigheten av att förutsäga systemets tillstånd med hjälp av rörelseekvationerna för en lång tid framåt av felen i att skriva ekvationerna själva (i jämförelse med den verklighet de beskriver), felet i att ställa in initialdata, och stabiliteten hos lösningarna av denna speciella typ av ekvationer; ändå, i ett antal fall (även om inte alls) i praktiken, är förutsägelse med hjälp av rörelseekvationer mycket exakt över tillräckligt stora tidsintervall (som t.ex. i himlamekanik) eller åtminstone tillfredsställande.
3. ↑ Den exakta lösningen betyder naturligtvis "exakt inom ramen för den matematiska modellen", det vill säga utan att ta hänsyn till felet i att skriva själva ekvationerna; det kan tyckas som att det inte finns någon anledning att oroa sig för att få exakta lösningar, eftersom ekvationerna i sig inte helt exakt återspeglar den fysiska verkligheten, men för att inte tala om det faktum att ofta felet i modellen är ganska litet och de lösningar som är exakta i matematisk mening är då ganska exakta i den fysiska , exakta lösningar har vanligtvis ytterligare en fördel: de skrivs i form av formler i en form som gör det mycket bekvämare att använda dem i vidare beräkningar och analyser, vilket är viktigt för både praktik och teoretisk förståelse, eftersom en exakt lösning med flera parametrar är en rekord för en oändlig familj av singulära lösningar.

Länkar

• Applet för rörelseekvationer